《2025年金考卷特快专递高中数学》

19.（14分）从某果园中采摘某种水果共136箱，每箱均装有相同个数的此种水果，此种水果分为一级果和二级果，其中一级果102箱，二级果34箱.
　(1)随意挑选2箱此种水果，求恰好选到一级果和二级果各一箱的概率.
　(2)若采用分层随机抽样的方法从中抽取8箱此种水果，求一级果和二级果各抽取几箱.
　(3)若抽取若干箱此种水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果共48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21. 求168个此种水果单果质量的平均数和方差，并预估该果园中此种水果单果的质量.

答案： 古典概型的概率+组合数+分层随机抽样+平均数+方差
解:
(1)设“随意挑选2箱此种水果，恰好选到一级果和二级果各一箱”为事件A,则P(A) = $\frac{C_{102}^{1}\cdot C_{34}^{1}}{C_{136}^{2}}$ = $\frac{17}{45}$. (3分)
(2)抽取一级果的箱数为8×$\frac{102}{136}$ = 6; (5分)
抽取二级果的箱数为8×$\frac{34}{136}$ = 2. (7分)
(3)第1步:求出一级果、二级果的方差和所有水果质量的平均数
设一级果单果质量的平均数为$\overline{x}$，二级果单果质量的平均数为$\overline{y}$，所有水果单果质量的平均数为$\overline{z}$，
则$\overline{z}$ = $\frac{120\overline{x}+48\overline{y}}{120 + 48}$ = $\frac{120\times303.45 + 48\times240.41}{168}$≈285.44(克)，(9分)
设一级果单果质量的方差为$s_{x}^{2}$，二级果单果质量的方差为$s_{y}^{2}$，则$s_{x}^{2}$ = $\frac{1}{120}\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x})^{2}$ = 603.46，$s_{y}^{2}$ = $\frac{1}{48}\sum_{i = 1}^{48}(y_{i}-\overline{y})^{2}$ = 648.21，
第2步:写出所有水果单果质量的方差公式
设168个此种水果单果质量的方差为$s_{z}^{2}$，则
$s_{z}^{2}$ = $\frac{1}{168}[\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{z})^{2}+\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{z})^{2}]$
= $\frac{1}{168}[\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x}+\overline{x}-\overline{z})^{2}+\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{y}+\overline{y}-\overline{z})^{2}]$(题眼)
= $\frac{1}{168}[\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x})^{2}+2\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-\overline{z})+120(\overline{x}-\overline{z})^{2}+\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{y})^{2}+2\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{y})(\overline{y}-\overline{z})+48(\overline{y}-\overline{z})^{2}]$. (12分)
第3步:化简整理，代入相关数值
其中$\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-\overline{z})$ = ($\overline{x}-\overline{z}$)$\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x})$ = 0，
$\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{y})(\overline{y}-\overline{z})$ = ($\overline{y}-\overline{z}$)$\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{y})$ = 0，
因此，$s_{z}^{2}$ = $\frac{1}{168}[\sum_{i = 1}^{120}(x_{i}-\overline{x})^{2}+120(\overline{x}-\overline{z})^{2}+\sum_{j = 1}^{48}(y_{j}-\overline{y})^{2}+48(\overline{y}-\overline{z})^{2}]$ = $\frac{1}{168}[120\times603.46 + 120\times(303.45 - 285.44)^{2}+48\times648.21 + 48\times(240.41 - 285.44)^{2}]$≈1427.27，(13分)
果园中此种水果单果质量的平均数为$\frac{102\overline{x}+34\overline{y}}{102 + 34}$ = $\frac{102\times303.45 + 34\times240.41}{136}$ = 287.69(克). (14分)
考情速递 凸显情境设计.以从某果园中采摘水果为背景设题 本题为概率与统计应用题，对学生阅读理解能力、分析问题解决问题的能力的要求进一步提高，还考查了数据分析、数学运算素养

20. (18分)在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A$为椭圆$\varGamma :\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$上一点，$F_{1},F_{2}$分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点$A$的横坐标为2，求$|AF_{1}|$.
(2)设$\varGamma$的上、下顶点分别为$M_{1},M_{2}$，记$\triangle AF_{1}F_{2}$的面积为$S_{1}$，$\triangle AM_{1}M_{2}$的面积为$S_{2}$，若$S_{1}\geq S_{2}$，求$|OA|$的取值范围.
(3)若点$A$在$x$轴上方，设直线$AF_{2}$与$\varGamma$交于点$B$，与$y$轴交于点$K$，线段$KF_{1}$的延长线与$\varGamma$交于点$C$，是否存在$x$轴上方的点$C$，使得$\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B}+\overrightarrow{F_{2}C})(\lambda \in \mathbf{R})$成立？若存在，请求出点$C$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 20.椭圆的方程与简单几何性质+直线与椭圆相交问题+平面向量
解：
(1)第1步：根据椭圆的方程写出焦点坐标
由题意可知$a = \sqrt{6},b = \sqrt{2}$，故$c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = 2$，所以$F_{1}(-2,0)$，$F_{2}(2,0)$.(1分)
第2步：由两点间距离公式求$|AF_{1}|$
设点$A$的坐标为$(x_{1},y_{1})$，由题意知$x_{1} = 2$，则$y_{1}^{2}=\frac{2}{3}$，(2分)
所以$|AF_{1}|=\sqrt{[2 - (-2)]^{2}+\frac{2}{3}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.(4分)
(2)第1步：根据条件写出$S_{1},S_{2}$的表达式
由已知，得$S_{1}=\frac{1}{2}\times4\times|y_{1}| = 2|y_{1}|$，$S_{2}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times|x_{1}|=\sqrt{2}|x_{1}|$，且$x_{1}\neq0,y_{1}\neq0$.(6分)
第2步：建立坐标的等量与不等关系
由题意可得$2|y_{1}|\geq\sqrt{2}|x_{1}|$，则$|x_{1}|\leq\sqrt{2}|y_{1}|$，又$\frac{x_{1}^{2}}{6}+\frac{y_{1}^{2}}{2}=1$，所以$x_{1}^{2}=6(1 - \frac{y_{1}^{2}}{2})$，所以$0 ＜ x_{1}^{2}=6(1 - \frac{y_{1}^{2}}{2})\leq2y_{1}^{2}$，(题眼)(8分)
第3步：得出点$A$纵坐标的平方的取值范围
解得$\frac{6}{5}\leq y_{1}^{2}＜2$，(9分)
第4步：求出$|OA|$的取值范围
因此$|OA|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}=\sqrt{6 - 2y_{1}^{2}}\in(\sqrt{2},\frac{3\sqrt{10}}{5}]$.(10分)
(3)第1步：设出直线方程，并与椭圆方程联立
设直线$AB$的方程为$x = ty + 2(t\neq0)$，与$\Gamma$的方程联立得$\begin{cases}x = ty + 2\\x^{2}+3y^{2}=6\end{cases}$，消去$x$，得$(t^{2}+3)y^{2}+4ty - 2 = 0$，
设$B(x_{2},y_{2})$，由根与系数的关系可得$y_{1}+y_{2}=-\frac{4t}{t^{2}+3}$，$y_{1}y_{2}=-\frac{2}{t^{2}+3}$，(12分)
第2步：根据条件写出相应的坐标关系
由对称性可知$C(-x_{1},y_{1})$，
因此$\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}C}=(x_{1}-(-2),y_{1}-0)+(x_{2}-(-2),y_{2}-0)+(-x_{1}-(-2),y_{1}-0)=(x_{2}+6,2y_{1}+y_{2})$，
$\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B}+\overrightarrow{F_{2}C}=(x_{1}-2,y_{1}-0)+(x_{2}-2,y_{2}-0)+(-x_{1}-2,y_{1}-0)=(x_{2}-6,2y_{1}+y_{2})$，(14分)
由题意可知$\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}C}=\lambda(\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B}+\overrightarrow{F_{2}C})$，
故$\begin{cases}x_{2}+6=\lambda(x_{2}-6)\\2y_{1}+y_{2}=\lambda(2y_{1}+y_{2})\end{cases}$，可得$(x_{2}+6)(2y_{1}+y_{2})=(x_{2}-6)(2y_{1}+y_{2})$，(题眼)
因此$2y_{1}+y_{2}=0$，(16分)
第3步：根据坐标关系及根与系数的关系求解相关的值
则$-2y_{1}=y_{2}$，将其代入$y_{1}+y_{2}=-\frac{4t}{t^{2}+3}=-y_{1}$，$y_{1}y_{2}=-\frac{2}{t^{2}+3}=-2y_{1}^{2}$，
所以$-\frac{2}{t^{2}+3}=-2(\frac{4t}{t^{2}+3})^{2}$，
解得$t^{2}=\frac{1}{5}$，因为$y_{1}＞0$，所以$t＞0$，所以$t=\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$y_{1}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，
$x_{1}=ty_{1}+2=\frac{9}{4}$，所以存在$x$轴上方的点$C$，其坐标为$(-\frac{9}{4},\frac{\sqrt{5}}{4})$.(18分)