《2025年金考卷特快专递高中数学》

三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤.

答案：

17.（14分）已知函数
(1)设$\omega =1$，求函数$y = f(x)$在$[0,\pi]$上的值域；
(2)若$f(x)$的最小正周期为$\pi$，$a ＞ \pi(a\in\mathbf{R})$，且函数$f(x)$在$[\pi,a]$上恰有$3$个零点，求$a$的取值范围.

答案： 17.三角函数的图象与性质
解：
(1)$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，由$x\in[0,\pi]$，得$x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$，
(1分)
当$\frac{\pi}{3}\leq x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}$，即$0\leq x\leq\frac{\pi}{6}$时，$f(x)$单调递增，当$\frac{\pi}{2}\leq x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{4\pi}{3}$，即$\frac{\pi}{6}\leq x\leq\pi$时，$f(x)$单调递减.
(3分)
所以当$x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$，即$x = \pi$时，$f(x)$取得最小值$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，当$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，即$x=\frac{\pi}{6}$时，$f(x)$取得最大值1，
(5分)
因此函数$f(x)$在$[0,\pi]$上的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$.
(6分)
(2)由题意可知$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$，因此$\omega = 2$.
(8分)
所以$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$.
由$x\in[\pi,a]$，得$2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{7\pi}{3},2a+\frac{\pi}{3}]$，
(10分)
由于$f(x)$在$[\pi,a]$上恰有3个零点，因此$5\pi\leq2a+\frac{\pi}{3}＜6\pi$.
(12分)
解得$\frac{7\pi}{3}\leq a＜\frac{17\pi}{6}$，即$a$的取值范围是$[\frac{7\pi}{3},\frac{17\pi}{6})$.
(14分)

18.（利用反三角函数表示角的大小，非上海地区考生不作要求）（14分）如图，PA，PB，PC为圆锥的三条母线，AB = AC.
　　(1)证明：PA⊥BC；
　　(2)若圆锥的侧面积为$\sqrt{3}\pi$，BC为底面直径，BC = 2，求二面角B - PA - C的大小.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
线线垂直的证明+二面角的计算
解:
(1)如图，取BC的中点M,连接AM,PM,
因为AB=AC,所以AM⊥BC,
因为PB,PC均是圆锥的母线,所以PB=PC,所以PM⊥BC，(3分)
又PM∩AM=M,PM,AM⊂平面PMA,
所以BC⊥平面PMA, (5分)
又PA⊂平面PMA,所以PA⊥BC. (6分)

(2)第1步:求出圆锥的母线长和AB的长
设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则2r=2,所以r=1.因为S_{侧}=πrl = πl = $\sqrt{3}$π,所以l = $\sqrt{3}$,
因为BC为底面直径，A为底面圆周上一点，AB=AC,所以AB = $\frac{BC}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$.
(8分)
第2步:作出要求的二面角的平面角
因为AB=AC,PB=PC,PA=PA,所以△PBA≌△PCA,过点B作BH⊥PA,交PA于点H,连接CH,由对称性可知,CH⊥PA,所以∠BHC即为二面角B−PA−C的平面角，(10分)
第3步:求出二面角的平面角
在△PBA中,cos∠BPA = $\frac{PB^{2}+PA^{2}-BA^{2}}{2PB\cdot PA}$ = $\frac{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}}$ = $\frac{2}{3}$,所以sin∠BPA = $\sqrt{1 - cos^{2}∠BPA}$ = $\frac{\sqrt{5}}{3}$,所以BH = BP·sin∠BPA = $\frac{\sqrt{15}}{3}$,则CH = $\frac{\sqrt{15}}{3}$,在△BHC中,cos∠BHC = $\frac{BH^{2}+CH^{2}-BC^{2}}{2BH\cdot CH}$ = $\frac{(\frac{\sqrt{15}}{3})^{2}+(\frac{\sqrt{15}}{3})^{2}-2^{2}}{2\times\frac{\sqrt{15}}{3}\times\frac{\sqrt{15}}{3}}$ = - $\frac{1}{5}$, (13分)
故∠BHC = π - arccos$\frac{1}{5}$,即二面角B−PA−C的大小为π - arccos$\frac{1}{5}$. (14分)