《2025年金考卷特快专递高中数学》

16. (15分)已知$A(0,3)$和$P(3,\frac{3}{2})$为椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$上两点.
(1)求$C$的离心率；
(2)若过$P$的直线$l$交$C$于另一点$B$，且$\triangle ABP$的面积为9，求$l$的方程.

答案： 椭圆的离心率+三角形的面积公式(理性思维、数学应用)
解:
(1)第1步:代入A,P坐标求解a,b
由题知$\begin{cases}\frac{9}{b^{2}} = 1\\\frac{9}{a^{2}}+\frac{9}{4b^{2}} = 1\end{cases}$, 解得$\begin{cases}a = 2\sqrt{3}\\b = 3\end{cases}$, (3分)
第2步:根据a,b,c的关系求解c,得出C的离心率e
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3},\therefore$C的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. (5分)
(2)第1步:求解$|PA|$
$|PA|=\sqrt{3^{2}+(-\frac{3}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$, (7分)
第2步:得出点B到直线PA的距离h
设点B到直线PA的距离为h,则$\triangle ABP$的面积为$S=\frac{1}{2}|PA|\cdot h = 9$,解得$h=\frac{12\sqrt{5}}{5}$. (9分)
第3步:求解点B坐标
易知直线$PA:x + 2y - 6 = 0$,设$B(x,y)$,
则$\begin{cases}\frac{|x + 2y - 6|}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\\\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$, (11分)
解得$\begin{cases}x = 0\\y = - 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 3\\y = -\frac{3}{2}\end{cases},\therefore B(0,-3)$或$B(-3,-\frac{3}{2})$, (13分)
第4步:求直线l的方程
故$l:y=\frac{3}{2}x - 3$或$y=\frac{1}{2}x$. (15分)
考情速递　机动调整试题顺序　本卷将解析几何试题安排在解答题的第2题，数列内容则结合新定义安排在最后压轴题的位置，打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序，有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、刻板的训练模式，防止猜题押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力、灵活整合知识解决问题.
考教衔接　本题源自人教A版选择性必修第一册第121页练习第1
(2)题.
解后反思　注意到PA长度易知，由$\triangle ABP$的面积求出点B到直线PA的距离，进而设出点B坐标，并列方程组求解，可以有效降低运算难度.

17. (15分)如图，四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA = AC = 2$，$BC = 1$，$AB = \sqrt{3}$.
(1)若$AD\perp PB$，证明：$AD//$平面$PBC$；
(2)若$AD\perp DC$，且二面角$A - CP - D$的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$，求$AD$.

答案：
线面垂直的判定与性质+勾股定理的逆定理+线面平行的判定+二面角(理性思维、数学探索)
解:
(1)第1步:证明$AD\perp AB$
由于$PA\perp$底面ABCD,$AD\subset$底面ABCD，$\therefore PA\perp AD$, (1分)
又$AD\perp PB$,$PA\cap PB = P$,$PA$,$PB\subset$平面PAB,$\therefore AD\perp$平面PAB, (2分)
又$AB\subset$平面PAB,$\therefore AD\perp AB$. (3分)
第2步:证明$AB\perp BC$,得出$BC// AD$
$\because AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$,$\therefore AB\perp BC$,$\therefore BC// AD$, (5分)
第3步:证明$AD//$平面PBC
$\because AD\not\subset$平面PBC,$BC\subset$平面PBC,$\therefore AD//$平面PBC. (6分)
(2)第1步:建系，设出点$A(a,0,0)$，写出相关向量的坐标
由题意知DC,AD,AP两两垂直，以D为坐标原点,AD所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，设$A(a,0,0)$,$a ＞ 0$，则$CD=\sqrt{4 - a^{2}}$,$C(0,\sqrt{4 - a^{2}},0)$,$P(a,0,2)$,$\overrightarrow{CD}=(0,-\sqrt{4 - a^{2}},0)$,$\overrightarrow{AC}=(-a,\sqrt{4 - a^{2}},0)$,$\overrightarrow{CP}=(a,-\sqrt{4 - a^{2}},2)$. (8分)

第2步:得出平面CPD的一个法向量
设平面CPD的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{CD}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{CP}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$, 即$\begin{cases}-\sqrt{4 - a^{2}}y = 0\\ax-\sqrt{4 - a^{2}}y + 2z = 0\end{cases}$, 可取$\boldsymbol{n}=(2,0,-a)$. (9分)
第3步:得出平面ACP的一个法向量
设平面ACP的法向量为$\boldsymbol{m}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{CP}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$, 即$\begin{cases}ax_{1}-\sqrt{4 - a^{2}}y_{1}+2z_{1}=0\\-ax_{1}+\sqrt{4 - a^{2}}y_{1}=0\end{cases}$, 可取$\boldsymbol{m}=(\sqrt{4 - a^{2}},a,0)$. (10分)
第4步:根据二面角A - CP - D的正弦值列方程
$\because$二面角A - CP - D的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$,
$\therefore$余弦值的绝对值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$, (11分)
故$|\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{4 - a^{2}}}{\sqrt{4 - a^{2}+a^{2}}\cdot\sqrt{4 + a^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$, (13分)
第5步:得出AD的长
又$a ＞ 0$,$\therefore a=\sqrt{3}$,即$AD=\sqrt{3}$. (15分)
考教衔接　本题源自人教A版必修第二册第158页练习第3题，第164页习题8.6第20题，人教A版选择性必修第一册第49页复习参考题1第12题.