《2025年金考卷特快专递高中数学》

21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知D是R的一个非空子集,y = f(x)是定义在D上的函数,对于点M(α,b),函数s(x)=(x - α)²+(f(x) - b)².若对于P(x0,f(x0)),满足s(x)在x = 　　
x0处取得最小值,则称P是M的“f最近点”.
(1)若D=(0,+∞),f(x)=$\frac{1}{x}$,M(0,0),求证:对于点M(0,0),存在点P,使得P是M的“f最近点”.
(2)若D = R,f(x)=e^x,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M的“f最近点”,且直线MP与曲线y = f(x)在点P处的切线垂直.
(3)若D = R,已知y = f(x)是可导的,y = g(x)的定义域为R且函数值恒为正,t∈R,M1(t - 1,f(t) - g(t)),M2(t + 1,f(t)+g(t)).若对于任意t∈R,都存在曲线y = f(x)上的一点P,使得P既是M1的“f最近点”,又是M2的“f最近点”,试判断y = f(x)的单调性.
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答案： 21.函数中的新定义问题+导数的几何意义+函数的单调性与最值+基本不等式(理性思维、数学探索)
解:
(1)第1步:利用基本不等式求s(x)的最小值
因为函数$f(x)=\frac{1}{x},x\in(0,+\infty),M(0,0)$，
所以$s(x)=(x - 0)^2+(\frac{1}{x}-0)^2=x^2+\frac{1}{x^2}\geq2$，(2分)
第2步:根据等号成立的条件求点P的坐标
当且仅当$x^2=\frac{1}{x^2},x ＞ 0$，即$x = 1$时，(易错警示:不要忽视了$x ＞ 0$)
s(x)取得最小值2,$f(1)=1$,所以$P(1,1)$，
故对于点$M(0,0)$,存在点$P(1,1)$,使得P是M的“f最近点”.(4分)
(2)第1步:求s(x)与$s'(x)$
因为函数$f(x)=e^x,M(1,0)$,所以$s(x)=(x - 1)^2+e^{2x}$,则$s'(x)=2(x - 1)+2e^{2x}$.(方法技巧:当导函数的零点不易求时,可以通过进一步构造函数,求其导数,即“二次求导”)(5分)
第2步:讨论s(x)的单调性,求出其最小值,得到“f最近点”
记$m(x)=s'(x)=2(x - 1)+2e^{2x}$,则$m'(x)=2 + 4e^{2x}＞0$,所以m(x)在R上严格单调递增.
因为$m(0)=s'(0)=0$,
所以当$x ＜ 0$时,$m(x)=s'(x)＜0$;当$x ＞ 0$时,$m(x)=s'(x)＞0$.
所以s(x)在$(-\infty,0)$上严格单调递减,在$(0,+\infty)$上严格单调递增,
因此当$x = 0$时,s(x)取到最小值,
又$f(0)=e^0=1$,所以点M的“f最近点”为$P(0,1)$.(7分)
第3步:利用导数的几何意义求切线斜率,根据两直线垂直建立方程
为判断直线MP与曲线$y = f(x)$在点P处的切线是否垂直,可另设$P(k,e^k)$,则由$f'(x)=e^x$,知在$P(k,e^k)$处的切线l的斜率为$e^k$,(提示:导函数在切点处的函数值即为切线的斜率)
由题意知$MP\perp l$,因此$\frac{e^k - 0}{k - 1}=-\frac{1}{e^k}$,整理得$k + e^{2k}-1 = 0$.(8分)
第4步:构造函数,根据函数的单调性求出点P的坐标
令$h(k)=k + e^{2k}-1$,易知h(k)在R上严格单调递增,(提示:因为函数$y = x$与函数$y = e^{2x}$均为R上的增函数,所以由函数单调性的相关结论知函数h(k)为增函数)
又$h(0)=0$,所以方程$k + e^{2k}-1 = 0$有唯一解$k = 0$,所以点$P(0,1)$.(9分)
综上,存在满足条件的一个点$P(0,1)$.(10分)
(3)解法一 设$\begin{cases}s_1(x)=(x - t + 1)^2+(f(x)-f(t)+g(t))^2\\s_2(x)=(x - t - 1)^2+(f(x)-f(t)-g(t))^2\end{cases}$.由条件,对任意$t\in R$,存在$P(x_0,f(x_0))$,使得$x_0$同时是$s_1(x)$和$s_2(x)$的最小值点.(11分)
于是,对任意$x\in R$,$\begin{cases}s_1(x_0)\leq s_1(x)\\s_2(x_0)\leq s_2(x)\end{cases}$,
即$\begin{cases}(x_0 - t + 1)^2+(f(x_0)-f(t)+g(t))^2\leq(x - t + 1)^2+(f(x)-f(t)+g(t))^2\\(x_0 - t - 1)^2+(f(x_0)-f(t)-g(t))^2\leq(x - t - 1)^2+(f(x)-f(t)-g(t))^2\end{cases}$,
特别地,当$x = t$时,$\begin{cases}(x_0 - t + 1)^2+(f(x_0)-f(t)+g(t))^2\leq1 + g^2(t)\\(x_0 - t - 1)^2+(f(x_0)-f(t)-g(t))^2\leq1 + g^2(t)\end{cases}$,
两式相加,得$(x_0 - t)^2+(f(x_0)-f(t))^2\leq0$.(14分)
所以$x_0 = t$.
另一方面,求导得$\begin{cases}s_1'(x)=2(x - t + 1)+2(f(x)-f(t)+g(t))f'(x)\\s_2'(x)=2(x - t - 1)+2(f(x)-f(t)-g(t))f'(x)\end{cases}$.
因为$s_i(x)(i = 1,2)$的最小值点也是极值点,所以$s_1'(x_0)=0$,$s_2'(x_0)=0$,即$\begin{cases}(x_0 - t + 1)+(f(x_0)-f(t)+g(t))f'(x_0)=0\\(x_0 - t - 1)+(f(x_0)-f(t)-g(t))f'(x_0)=0\end{cases}$,
两式相减,得$g(t)f'(x_0)=-1$.(17分)
代入$x_0 = t$,并由$g(t)＞0$,得$f'(t)=-\frac{1}{g(t)}＜0,t\in R$.
所以$f(x)$在R上严格单调递减.(18分)
解法二 第1步:先证$MP\perp l$
先证明一个结论:对于$M(a,b)$,设$P(x_0,f(x_0))$为M的“f最近点”,曲线$y = f(x)$在点P处的切线为l,则$MP\perp l$.(题眼)
证明:
因为$s(x)=(x - a)^2+(f(x)-b)^2$,所以$s'(x)=2x - 2a+2f'(x)(f(x)-b)$,
所以当s(x)在$x = x_0$处取得最小值时,$s'(x_0)=0$,即$x_0 - a+f'(x_0)(f(x_0)-b)=0$,
所以$\frac{f(x_0)-b}{x_0 - a}=-\frac{1}{f'(x_0)}$.(解题关键:利用$s'(x_0)=0$找到直线MP的斜率与$f'(x_0)$的关系)
又直线MP的斜率$k_{MP}=\frac{f(x_0)-b}{x_0 - a}$,且切线l的斜率为$k_l=f'(x_0)$,
所以$k_{MP}\cdot k_l=\frac{f(x_0)-b}{x_0 - a}\cdot f'(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot f'(x_0)=-1$,
所以$MP\perp l$.(13分)
第2步:证明线段$M_1M_2$的中点N与点P重合
因为$\forall t\in R,M_1(t - 1,f(t)-g(t)),M_2(t + 1,f(t)+g(t))$,存在对应的点P使得$|M_1P|^2$为$M_1$到曲线$y = f(x)$的距离平方的最小值,$|M_2P|^2$为$M_2$到曲线$y = f(x)$的距离平方的最小值,
连接$M_1M_2$,因为$M_1(t - 1,f(t)-g(t)),M_2(t + 1,f(t)+g(t))$,
所以设线段$M_1M_2$的中点为N,则$N(t,f(t))$,则点N在曲线$y = f(x)$上.
若$M_1,M_2$到曲线$y = f(x)$的距离最小时对应的点P与点N不重合,
则$|M_1P|＜|M_1N|,|M_2P|＜|M_2N|$,
所以$|M_1P|+|M_2P|＜|M_1N|+|M_2N|=|M_1M_2|$,
这与三角形两边之和大于第三边矛盾,所以点P与点N必重合.(16分)
第3步:用结论判断f(x)的单调性
又直线$M_1M_2$的斜率为$k_{M_1M_2}=\frac{2g(t)}{2}=g(t)＞0,k_l=f'(t)$,所以由$k_{M_1M_2}\cdot k_l=g(t)\cdot f'(t)=k_{MP}\cdot k_l=-1＜0$,知$f'(t)＜0$,所以当$t\in R$时,有$f'(t)＜0$,所以函数$f(x)$在R上严格单调递减.(18分)
考情速递 体现了对数学概念、数学思想、数学逻辑等方面的考查要求 本题考查考生理解新概念,以及在此基础上综合运用函数的最值、导数、单调性等知识和相应的策略解决问题的能力.本题要求考生熟悉数学语言,真正理解试题中的数学概念和性质,充分运用数学思想进行分析,通过数学抽象和逻辑推理才能得出答案.
考向预见 函数与导数是高考必考知识点,主要考查求导公式,导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,考查学生的综合解题能力.求解此类试题往往会用到数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想.预测2025年高考大概率考查利用导数研究函数的单调性+根据不等式恒成立求参数的值或取值范围+利用导数研究函数的极值或最值,求解时注意换元法的应用.讨论函数单调性时需注意定义域先行原则的应用.