《2025年金考卷特快专递高中数学》

19.（本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分6分.
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中随机抽取580人,得到日均体育锻炼时长(单位:小时)与学业成绩的数据如表所示:

(1)该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少?
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长(精确到0.1小时).
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?
附:$\chi ^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)},n = a + b + c + d.P(\chi ^{2}\geqslant3.841)\approx0.05.$

答案：
19.频数分布表+统计计算+卡方检验
解:
(1)第1步:计算样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数
抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42+3+1+137+40+27=250.
第2步:按比例估计人数
设该地区29000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不小于1小时，则$\frac{250}{580}=\frac{x}{29000}$，解得x=12500.
故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为12500.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)第1步:根据题中表格数据计算该地区初中学生日均体育锻炼时长
依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为(0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25×28)÷580=540÷580≈0.9.
第2步:作答
所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时.　　　(8分)
(3)第1步:写出2×2列联表
对数据重新组合，得到2×2列联表
　　
第2步:代入公式计算
提出原假设$H_0$：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.
确定显著性水平$\alpha = 0.05$，$P(\chi^2\geq3.841)\approx0.05$，
$\chi^2=\frac{580\times(45\times308 - 177\times50)^2}{95\times485\times222\times358}\approx3.976＞3.841$
第3步:得结论
原假设不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.　　　　　　　　　(14分)
考情速递　考查统计知识　历年高考对统计的考查集中在频率分布(图/表)、正态分布、线性回归检验、卡方检验等内容.在平时的学习过程中，要注意积累相应题型的求解方法及求解步骤.

20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知双曲线$\Gamma:x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(b＞0)$,左、右顶点分别为$A_{1},A_{2}$,过点$M(-2,0)$的直线交双曲线$\Gamma$于$P,Q$两点.
(1)若$\Gamma$的离心率为2,求$b$.
(2)若$b = \frac{2\sqrt{6}}{3}$,$\triangle MA_{2}P$为等腰三角形,且点$P$在第一象限,求点$P$的坐标.
(3)连接$QO(O$为坐标原点)并延长交$\Gamma$于点$R$,若$\overrightarrow{A_{1}R}\cdot\overrightarrow{A_{2}P}=1$,求$b$的取值范围.

答案： 20.双曲线的方程及性质+直线与双曲线的位置关系+双曲线中的取值范围问题+向量的数量积运算(理性思维、数学探索)
解:
(1)第1步:由双曲线的方程求a
由双曲线的方程知a = 1,
第2步:由离心率公式与a,b,c间的基本关系求b
$c=\sqrt{1 + b^{2}}$, (提醒: 注意双曲线与椭圆中a,b,c间的基本关系的区别)
因为离心率为2, 所以 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{1 + b^{2}}}{1}=2$, 得 $b = \sqrt{3}$. (4分)
(2)第1步:求出等腰三角形$MA_{2}P$的腰长
当$b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$时, 双曲线$\Gamma:x^{2}-\frac{3y^{2}}{8}=1$, 且$A_{2}(1,0)$.
因为点P在第一象限, 所以$\angle PA_{2}M$为钝角. (关键: 利用数形结合思想判断出$\angle PA_{2}M$的范围是求解问题的关键) (6分)
又$\triangle MA_{2}P$为等腰三角形, 所以$|A_{2}P| = |A_{2}M| = 3$. (8分)
第2步:由点在双曲线上与两点间距离公式求点P的坐标
设点$P(x_{0},y_{0})$, 且$x_{0}＞0,y_{0}＞0$, 则$\begin{cases}\sqrt{(x_{0}-1)^{2}+y_{0}^{2}} = 3\\x_{0}^{2}-\frac{3y_{0}^{2}}{8}=1\end{cases}$, (提示: 若$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$, 则$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$)
得$\begin{cases}x_{0}=2\\y_{0}=2\sqrt{2}\end{cases}$, 所以$P(2,2\sqrt{2})$. (10分)
(3)第1步:设出相关点的坐标
由双曲线的方程知$A_{1}(-1,0),A_{2}(1,0)$, 且由题意知Q,R关于原点对称.
设$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$, 则$R(-x_{2},-y_{2})$. (11分)
第2步:设出直线PQ的方程, 与双曲线方程联立, 写出根与系数的关系
设直线PQ的方程为$x = my - 2$.
联立直线与双曲线的方程得$\begin{cases}x = my - 2\\x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}$, 消去x, 得$(b^{2}m^{2}-1)y^{2}-4b^{2}my + 3b^{2}=0$, (题眼) 且$b^{2}m^{2}-1\neq0$, 即$m^{2}\neq\frac{1}{b^{2}}$.
由根与系数的关系, 得$y_{1}+y_{2}=\frac{4b^{2}m}{b^{2}m^{2}-1},y_{1}y_{2}=\frac{3b^{2}}{b^{2}m^{2}-1}$. (13分)
第3步:由向量的数量积运算求m,b的关系式
因为$\overrightarrow{A_{1}R}=(-x_{2}+1,-y_{2}),\overrightarrow{A_{2}P}=(x_{1}-1,y_{1})$,
由$\overrightarrow{A_{1}R}\cdot\overrightarrow{A_{2}P}=1$, 得$(-x_{2}+1)(x_{1}-1)-y_{1}y_{2}=1$, (归纳总结: 解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标, 将平面向量用坐标表示, 运用相应的平面向量坐标运算法则 (加、减、乘、数乘) 或运算律或数量积的几何意义, 将问题中向量间的关系 (相等、垂直、平行等) 转化为代数关系)
所以$(x_{2}-1)(x_{1}-1)+y_{1}y_{2}=-1$, 即$(my_{2}-3)(my_{1}-3)+y_{1}y_{2}=-1$, (14分)
整理, 得$(m^{2}+1)y_{1}y_{2}-3m(y_{1}+y_{2})+10 = 0$,
所以$(m^{2}+1)\cdot\frac{3b^{2}}{b^{2}m^{2}-1}-3m\cdot\frac{4b^{2}m}{b^{2}m^{2}-1}+10 = 0$,
整理, 得$b^{2}m^{2}+3b^{2}-10 = 0$, 所以$b^{2}=\frac{10}{m^{2}+3}\in(0,\frac{10}{3}]$. (16分)
第4步:根据m的取值范围求出b的取值范围
又$m^{2}\neq\frac{1}{b^{2}}$, 所以$b^{2}\neq\frac{10}{\frac{1}{b^{2}}+3}=\frac{10b^{2}}{3b^{2}+1}$, 得$b^{2}\neq3$, 所以$b^{2}\in(0,3)\cup(3,\frac{10}{3}]$, 又$b＞0$,
故b的取值范围是$(0,\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\frac{\sqrt{30}}{3}]$. (18分)
考向预见 解析几何作为高中数学重要的内容之一, 一直受到高考命题人的青睐. 认真研究历年高考数学试题就会发现, 和解析几何有关的题型具有多样化的特点. 预测2025年高考会考查圆锥曲线的定义+圆锥曲线的方程及几何性质+直线与圆锥曲线的位置关系的试题.