《2025年金考卷特快专递高中数学》

17. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，在正四棱锥$P - ABCD$中，$O$为底面$ABCD$的中心。
(1)若$AP = 5$，$AD = 3\sqrt{2}$，求$\triangle POA$绕$PO$旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若$AP = AD$，$E$为$PB$的中点，求直线$BD$与平面$AEC$所成角的大小。

答案：
17.正四棱锥+旋转体体积+线面角解:
(1)第1步:利用勾股定理求AO,PO在正四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为正方形,且PO⊥底面ABCD,
∴△AOD为等腰直角三角形,又AD = 3$\sqrt{2}$,
∴AO = 3,
∵AP = 5,
∴PO = $\sqrt{AP^{2}-AO^{2}}$ = 4. (4分)第2步:求旋转体体积
∴Rt△AOP绕直角边PO旋转一周形成的几何体是底面半径为3,高为4的圆锥,
∴旋转体的体积为V = $\frac{1}{3}$×π×3²×4 = 12π. (6分)
(2)第1步:找线面垂直,定线面角 如图,连接OE,
∵AP = AD = AB,E为PB的中点,
∴PB⊥AE,同理,PB⊥CE,又AE∩CE = E,AE,CE⊂平面AEC,
∴PB⊥平面AEC,
∴∠BOE是BD与平面AEC所成的角. (10分)第2步:计算线面角的大小设AP = AD = 2,则BO = $\sqrt{2}$,BE = 1,在△BPD中,E,O分别为BP,BD的中点,
∴EO = $\frac{1}{2}$PD = $\frac{1}{2}$AP = 1,
∴△BEO是等腰直角三角形,
∴∠BOE = $\frac{π}{4}$,即BD与平面AEC所成角的大小为$\frac{π}{4}$. (14分)

18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数$f(x)=\log_{a}x(a ＞ 0,a\neq1)$.
(1)若函数$f(x)$的图象过点$(4,2)$,求不等式$f(2x - 2) ＜ f(x)$的解集;
(2)若存在$x$使得$f(x + 1)$,$f(ax)$,$f(x + 2)$依次成等差数列,求实数$a$的取值范围.

答案： 18.对数函数+对数运算+等差数列+方程有解
解:
(1)第1步:代入求a
∵$f(x)$的图象过点$(4,2)$，
∴$\log_{a}4 = 2$，解得$a = 2$.　　　　　　(2分)
第2步:研究函数单调性解不等式
∴$f(x)=\log_{2}x$，显然其在定义域$(0, +\infty)$上单调递增。
由$f(2x - 2)\lt f(x)$有$\begin{cases}2x - 2\gt 0 \\x\gt 0 \\2x - 2\lt x\end{cases}$，解得$1\lt x\lt 2$。
∴原不等式的解集为$\{x|1\lt x\lt 2\}$。　　　　　　　　　　　　(6分)
(2)第1步:由等差数列得方程
∵$f(x + 1)$，$f(ax)$，$f(x + 2)$依次成等差数列，
∴$2f(ax)=f(x + 1)+f(x + 2)$，
即$2\log_{a}(ax)=\log_{a}(x + 1)+\log_{a}(x + 2)$，$x\gt 0$，$a\gt 0$，且$a\neq 1$。
第2步:通过对数运算分离出$a^{2}$
即$\log_{a}(ax)^{2}=\log_{a}[(x + 1)(x + 2)]$，由$f(x)=\log_{a}x$是单调函数得$(ax)^{2}=(x + 1)(x + 2)$，得$a^{2}=\frac{x^{2}+3x + 2}{x^{2}}=2\times(\frac{1}{x})^{2}+3\times\frac{1}{x}+1$，$x\gt 0$。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
第3步:运用函数的单调性求范围
设$t=\frac{1}{x}$，则$t\gt 0$，$a^{2}=2t^{2}+3t + 1$在$t\gt 0$时有解，设$g(t)=2t^{2}+3t + 1$，则$g(t)$在$(0, +\infty)$上单调递增，故$g(t)\gt 1$，即$a^{2}\gt 1$，得$a\gt 1$。
∴$a$的取值范围是$(1, +\infty)$。　　　　　　　　　　　　　　(14分)
方法技巧　
(1)求参数范围常用的方法是分离参数法。
(2)能成立问题往往转化为方程有解问题。