《2025年金考卷特快专递高中数学》

9. 一个五面体$ABC - DEF$. 已知$AD// BE// CF$，且两两之间距离为$1$，$AD = 1$，$BE = 2$，$CF = 3$，则该五面体的体积为

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
B. $\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$

答案： 9.C　不规则几何体的体积(理性思维、数学应用)　割补法　因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为$\frac {\sqrt {3}}{2}$,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积$V=\frac {1}{2}×1×\frac {\sqrt {3}}{2}×1+\frac {1}{3}×\frac {3}{2}×\frac {\sqrt {3}}{2}=\frac {\sqrt {3}}{2}$,故选C.

10. 已知$i$是虚数单位，复数$(\sqrt{5}+i)\cdot(\sqrt{5}-2i)=$________.

答案： 10.$7-\sqrt {5}i$　复数的乘法运算(理性思维)　$(\sqrt {5}+i)(\sqrt {5}-2i)=(\sqrt {5})^{2}-2\sqrt {5}i+\sqrt {5}i-2i^{2}=7-\sqrt {5}i.$

11. 在$(\frac{3}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3})^{6}$的展开式中，常数项为________.

答案： 11.20　二项式定理的应用(数学探索)　$T_{k+1}=C_{6}^{k}(\frac {3}{x^{3}})^{6-k}(\frac {x^{3}}{3})^{k}=C_{6}^{k}\cdot 3^{6-2k}\cdot x^{6k-18}$.令$6k-18=0$,则$k=3$,所以常数项为$T_{4}=C_{6}^{3}\cdot 3^{0}\cdot x^{0}=20.$

12. 圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=25$的圆心与抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$的焦点$F$重合，$A$为两曲线的交点，则原点到直线$AF$的距离为________.

答案： 12.$\frac {4}{5}$　圆的几何性质+抛物线的定义+点到直线的距离(理性思维、数学探索)　由题意知圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=25$的圆心坐标为$(1,0)$,则$F(1,0)$,故$\frac {p}{2}=1,p=2$,由抛物线的定义得$|AF|=x_{A}+1=5$,得$x_{A}=4$.由对称性不妨设$A(4,4)$,则直线AF的方程为$y=\frac {4}{3}(x - 1)$,即$4x - 3y - 4 = 0$,所以原点到直线AF的距离是$\frac {4}{\sqrt {4^{2}+3^{2}}}=\frac {4}{5}.$

13. $A,B,C,D,E$五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加. 甲选到$A$的概率为________；已知乙选了$A$活动，他再选择$B$活动的概率为________.

答案： 13.$\frac {3}{5}$ $\frac {1}{2}$　古典概型+条件概率(理性思维、数学探索)　由题意知甲选到A的概率$P=\frac {C_{4}^{2}}{C_{5}^{3}}=\frac {3}{5}$.记乙选择A活动为事件M,乙选了A活动再选择B活动为事件N,则$P(M)=\frac {C_{4}^{2}}{C_{5}^{3}}=\frac {3}{5},P(MN)=\frac {C_{3}^{1}}{C_{5}^{3}}=\frac {3}{10}$,所以$P(N|M)=\frac {P(MN)}{P(M)}=\frac {\frac {3}{10}}{\frac {3}{5}}=\frac {1}{2}.$

14. 在边长为1的正方形$ABCD$中，$E$为线段$CD$的三等分点，$CE=\frac{1}{2}DE$，$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$，则$\lambda+\mu=$________；$F$为线段$BE$上的动点，$G$为$AF$中点，则$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{DG}$的最小值为________.

答案：
14.$\frac {4}{3}$ $-\frac {5}{18}$　平面向量的线性运算+数量积(理性思维、数学探索)　坐标法　以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则$A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(\frac {2}{3},1)$,所以$\overrightarrow {BE}=(-\frac {1}{3},1),\overrightarrow {BA}=(-1,0),\overrightarrow {BC}=(0,1)$,因为$\overrightarrow {BE}=\lambda \overrightarrow {BA}+\mu \overrightarrow {BC}$,所以$(-\frac {1}{3},1)=\lambda (-1,0)+\mu (0,1)$,所以$\lambda =\frac {1}{3},\mu =1$,所以$\lambda +\mu =\frac {4}{3}$.由$B(1,0),E(\frac {2}{3},1)$可得直线BE的方程为$y=-3(x - 1)$,设$F(a,3 - 3a)(\frac {2}{3}≤a≤1)$,则$G(\frac {a}{2},\frac {3 - 3a}{2})$,所以$\overrightarrow {AF}=(a,3 - 3a),\overrightarrow {DG}=(\frac {a}{2},\frac {1 - 3a}{2})$,所以$\overrightarrow {AF}\cdot \overrightarrow {DG}=a\cdot \frac {a}{2}+(3 - 3a)\cdot \frac {1 - 3a}{2}=5a^{2}-6a+\frac {3}{2}=5(a-\frac {3}{5})^{2}-\frac {3}{10}$,所以当$a=\frac {2}{3}$时,$\overrightarrow {AF}\cdot \overrightarrow {DG}$取得最小值,为$-\frac {5}{18}.$

15. 若函数$f(x)=2\sqrt{x^{2}-ax}-\vert ax - 2\vert+1$恰有一个零点，则$a$的取值范围为________.

答案：
15.$(-\sqrt {3},-1)\cup (1,\sqrt {3})$　函数的零点　①当$a = 0$时,$f(x)=2|x|-2 + 1 = 2|x|-1$,令$f(x)=0$,得$2|x|=1,x=\pm \frac {1}{2}$,即$f(x)$有两个零点,不满足题意. ②当$a≠0$时,令$ax = m$,则$2\sqrt {x^{2}-ax}-|ax - 2|+1 = 2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}-|m - 2|+1$,由$2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}-|m - 2|+1 = 0$可得$2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}=|m - 2|-1$,则$|m - 2|-1≥0$,解得$m≥3$或$m≤1$. (i)若$m≥3$,则由$2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}=|m - 2|-1$可得$2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}=m - 3$,化简得$\frac {4}{a^{2}}=\frac {m^{2}-2m + 9}{m^{2}}=1-\frac {2}{m}+\frac {9}{m^{2}}=9(\frac {1}{m}-\frac {1}{9})^{2}+\frac {8}{9}$,令$g(m)=9(\frac {1}{m}-\frac {1}{9})^{2}+\frac {8}{9},m≥3$,则$g(m)$在$[3,9)$上单调递减,在$(9,+\infty)$上单调递增,又$g(3)=\frac {4}{3},g(9)=\frac {8}{9}$,当$m→+\infty$时,$g(m)→1$,作出$g(m)$的大致图象如图所示. (ⅱ)若$m≤1$,因为$x = 0$不是$f(x)$的零点,所以$m≠0$. 由$2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}=|m - 2|-1$可得$2\sqrt {\frac {m^{2}}{a^{2}}-m}=1 - m$,化简得$\frac {4}{a^{2}}=\frac {m^{2}+2m + 1}{m^{2}}=1+\frac {2}{m}+\frac {1}{m^{2}}=(\frac {1}{m}+1)^{2}$,令$h(m)=(\frac {1}{m}+1)^{2},m≤1$且$m≠0$,则$h(m)$在$(-\infty,-1),(0,1]$上单调递减,在$(-1,0)$上单调递增,又$h(-1)=0,h(1)=4$,当$m→-\infty$时,$h(m)→1$,当$m→0$时,$h(m)→+\infty$,作出$h(m)$的大致图象如图所示. 数形结合可知,若$f(x)$恰有一个零点,则$\frac {4}{3}＜\frac {4}{a^{2}}＜4$,解得$-\sqrt {3}＜a＜-1$或$1＜a＜\sqrt {3}$,即a的取值范围为$(-\sqrt {3},-1)\cup (1,\sqrt {3}).$

16.（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 已知$\cos B=\frac{9}{16},b = 5,\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$.
（1）求a的值；
（2）求sin A的值；
（3）求$\cos(B - 2A)$的值.

答案： 正、余弦定理 + 同角三角函数的基本关系 + 三角恒等变换
解：
(1)由$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$得$a = \frac{2}{3}c$，
由余弦定理得$a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos B$，即$\frac{4}{9}c^{2}+c^{2}-25 = 2\cdot\frac{2}{3}c\cdot c\cdot\frac{9}{16}$，
(2分)
得$\frac{13}{9}c^{2}-25=\frac{3}{4}c^{2}$，得$c = 6$，
(4分)
故$a=\frac{2}{3}c = 4$.
(5分)
(2)因为$\cos B=\frac{9}{16}$，所以$\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
(6分)
由正弦定理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即$\frac{4}{\sin A}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}$，得$\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$.
(8分)
(3)因为$a ＜ b$，所以$A ＜ B$，则$\cos A＞0$，
由$\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$，得$\cos A=\frac{3}{4}$，
(10分)
则$\cos 2A = 2\cos^{2}A - 1=\frac{1}{8}$，$\sin 2A = 2\sin A\cos A=\frac{3\sqrt{7}}{8}$.
(12分)
故$\cos(B - 2A)=\cos B\cos 2A+\sin B\sin 2A=\frac{9}{16}\times\frac{1}{8}+\frac{5\sqrt{7}}{16}\times\frac{3\sqrt{7}}{8}=\frac{57}{64}$.
(14分)
考情速递 解三角形问题要夯实基础，熟记公式.天津卷近几年解三角形问题模式比较固定，考查正弦定理、余弦定理以及两角和与差的正、余弦公式，学生只要熟记相关公式，加强运算求解能力，拿满分不是问题.