《2025年金考卷特快专递高中数学》

1. 集合A = {1,2,3,4},B = {2,3,4,5},则A∩B =　　
A. {1,2,3,4}
B. {2,3,4}
C. {2,4}
D. {1}

答案： B 集合的交集运算(理性思维) 因为A = {1,2,3,4},B = {2,3,4,5},所以A ∩ B = {2,3,4},故选B.

2. 设a,b∈R,则“$a^{3}=b^{3}$”是“$3^{a}=3^{b}$”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C 充分、必要条件(数学探索) 由函数y = x³单调递增可知,若a³ = b³,则a = b;由函数y = 3ˣ单调递增可知,若3ᵃ = 3ᵇ,则a = b. 故“a³ = b³”是“3ᵃ = 3ᵇ”的充要条件,故选C.

3.下列图中，线性相关系数最大的是

答案： A 线性相关系数(理性思维) 选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大，故选A.

4. 下列函数是偶函数的是
A. $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x^{2}}{x^{2}+1}$
B. $f(x)=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2}+1}$
C. $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{x + 1}$
D. $f(x)=\frac{\sin x + 4x}{\mathrm{e}^{\vert x\vert}}$

答案： 4.B　函数的奇偶性(理性思维)　通解　对于A，$f( -x)=\frac{e^{-x}-( -x)^{2}}{( -x)^{2}+1}=\frac{e^{-x}-x^{2}}{x^{2}+1}\neq f(x)$，故$f(x)$不是偶函数；对于B，$f( -x)=\frac{\cos( -x)+( -x)^{2}}{( -x)^{2}+1}=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2}+1}=f(x)$，故$f(x)$是偶函数；对于C，$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq -1\}$，不关于原点对称，故$f(x)$不是偶函数；对于D，$f( -x)=\frac{\sin( -x)+4( -x)}{e^{| -x|}}=\frac{-\sin x - 4x}{e^{|x|}}=-\frac{\sin x + 4x}{e^{|x|}}=-f(x)$，故$f(x)$是奇函数.故选B.
优解一(特殊值法)　对于A，$f(1)=\frac{e - 1}{1 + 1}=\frac{e - 1}{2}$，$f( -1)=\frac{e^{-1}-1}{1 + 1}=\frac{e^{-1}-1}{2}$，$f(1)\neq f( -1)$，故$f(x)$不是偶函数；对于B，$f( -x)=\frac{\cos( -x)+( -x)^{2}}{( -x)^{2}+1}=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2}+1}=f(x)$，故$f(x)$是偶函数；对于C，$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq -1\}$，不关于原点对称，故$f(x)$不是偶函数；对于D，$f(\pi)=\frac{\sin\pi + 4\pi}{e^{|\pi|}}=\frac{4\pi}{e^{|\pi|}}$，$f( -\pi)=\frac{\sin( -\pi)-4\pi}{e^{| -\pi|}}=\frac{-4\pi}{e^{|\pi|}}$，$f(\pi)\neq f( -\pi)$，故$f(x)$不是偶函数.故选B.
优解二(性质法)　易知$y = x^{2}+1$与$y = e^{|x|}$均为偶函数，且恒为正.对于A，由于$y = e^{x}-x^{2}$是非奇非偶函数，所以$f(x)$也是非奇非偶函数；对于B，$y = \cos x + x^{2}$是偶函数，所以$f(x)$是偶函数；对于C，易知$f(x)$的定义域不关于原点对称，所以$f(x)$是非奇非偶函数；对于D，$y = \sin x + 4x$是奇函数，所以$f(x)$是奇函数，故选B.

5. 若$a = 4.2^{-0.3},b = 4.2^{0.3},c = \log_{4.2}0.2$,则$a,b,c$的大小关系为
A. $a ＞ b ＞ c$
B. $b ＞ a ＞ c$
C. $c ＞ a ＞ b$
D. $b ＞ c ＞ a$

答案： 5.B　指数、对数函数的性质+比较大小　由函数$y = 4.2^{x}$单调递增可知，$0 ＜ a ＜ 1 ＜ b$，又$c=\log_{4.2}0.2 ＜ 0$，故$b ＞ a ＞ c$，选B.

6. 若$m,n$为两条直线，$\alpha$为一个平面，则下列结论中正确的是
A. 若$m//\alpha,n//\alpha$，则$m\perp n$
B. 若$m//\alpha,n//\alpha$，则$m// n$
C. 若$m//\alpha,n\perp\alpha$，则$m\perp n$
D. 若$m//\alpha,n\perp\alpha$，则$m$与$n$相交

答案： 6.C　线面位置关系的判断　对于A,B,若$m// \alpha ,n// \alpha $,则m与n可能平行、相交或异面,故A,B错误;对于C,D,若$m// \alpha ,n⊥\alpha $,则$m⊥$ n,且m与n可能相交,也可能异面,故C正确,D错误.

7. 已知函数$f(x)=\sin3(\omega x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期为$\pi$，则$f(x)$在$[-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{6}]$的最小值为
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. 0
D. $\frac{3}{2}$

答案： 7.A　三角函数的图象与性质(理性思维)　由$f(x)$的最小正周期为π,可得$π=\frac {2π}{3\omega }$,所以$\omega =\frac {2}{3}$,所以$f(x)=sin(2x+π)=-sin2x.$ 当$x∈[-\frac {π}{12},\frac {π}{6}]$时,$2x∈[-\frac {π}{6},\frac {π}{3}],sin2x∈[-\frac {1}{2},\frac {\sqrt {3}}{2}]$,所以 $f(x)_{min}=-\frac {\sqrt {3}}{2}$,故选A.

8. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$P$是双曲线右支上一点，且直线$PF_2$的斜率为$2$，$\triangle PF_1F_2$是面积为$8$的直角三角形，则双曲线的方程为
A. $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$
D. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$

答案： 8.C　双曲线的标准方程+焦点三角形(理性思维、数学探索)　由题意可知,$∠F_{1}PF_{2}=90^{\circ }$,又直线$PF_{2}$的斜率为2,可得$tan∠PF_{2}F_{1}=\frac {|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=2$,根据双曲线定义$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$,得$|PF_{1}|=4a,|PF_{2}|=2a,S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\frac {1}{2}|PF_{1}||PF_{2}|=\frac {1}{2}×4a×2a=4a^{2}$,又$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=8$,所以$a^{2}=2$,所以$|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=(4a)^{2}+(2a)^{2}=20a^{2}=40$.又$|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2}$,所以$c^{2}=10$,又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,所以$b^{2}=8$,所以双曲线的方程为$\frac {x^{2}}{2}-\frac {y^{2}}{8}=1$,故选C.