《2025年金考卷特快专递高中数学》

11. 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线$C$的一部分. 已知$C$过坐标原点$O$，且$C$上的点满足：横坐标大于$-2$，到点$F(2,0)$的距离与到定直线$x = a(a ＜ 0)$的距离之积为$4$，则
　　　　　
A. $a = -2$
B. 点$(2\sqrt{2},0)$在$C$上
C. $C$在第一象限的点的纵坐标的最大值为$1$
D. 当点$(x_{0},y_{0})$在$C$上时，$y_{0}\leqslant\frac{4}{x_{0}+2}$

答案： 11. ABD 轨迹方程 + 求最值(理性思维、数学探索、数学应用) 定义法 + 逻辑推理法 + 放缩法 因为坐标原点$O$在曲线$C$上，所以$2\times|a| = 4$，又$a ＜ 0$，所以$a = - 2$，所以 A 正确.
因为点$(2\sqrt{2},0)$到点$F(2,0)$的距离与到定直线$x = - 2$的距离之积为$(2\sqrt{2}-2)(2\sqrt{2}+2)=4$，所以点$(2\sqrt{2},0)$在曲线$C$上，所以 B 正确.
设$P(x,y)(x ＞ 0,y ＞ 0)$是曲线$C$在第一象限的点，则有$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}(x + 2)=4$，所以$y^2=\frac{16}{(x + 2)^2}-(x - 2)^2$，令$f(x)=\frac{16}{(x + 2)^2}-(x - 2)^2$，则$f'(x)=-\frac{32}{(x + 2)^3}-2(x - 2)$，因为$f(2)=1$，且$f'(2)＜0$，所以函数$f(x)$在$x = 2$附近单调递减，(若$f'(x_0)＞0$，则函数$f(x)$在$x = x_0$附近单调递增；若$f'(x_0)＜0$，则函数$f(x)$在$x = x_0$附近单调递减)即必定存在一小区间$(2 - \varepsilon,2 + \varepsilon)$使得$f(x)$单调递减，所以在区间$(2 - \varepsilon,2)$上均有$f(x)＞1$，所以$P(x,y)$的纵坐标的最大值一定大于$1$，所以 C 错误.
因为点$(x_0,y_0)$在$C$上，所以$x_0 ＞ - 2$且$\sqrt{(x_0 - 2)^2 + y_0^2}(x_0 + 2)=4$，(题眼)得$y_0^2=\frac{16}{(x_0 + 2)^2}-(x_0 - 2)^2\leqslant\frac{16}{(x_0 + 2)^2}$，所以$y_0\leqslant|y_0|\leqslant\sqrt{\frac{16}{(x_0 + 2)^2}}=\frac{4}{x_0 + 2}$，所以 D 正确.
综上，选 ABD.
考情速递 突出考教衔接，聚焦学科素养 本题是新定义曲线问题，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离之积为定值，而我们所学的椭圆、双曲线、抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，因此本题的考查内容并不会使学生有陌生感，反而会使学生有一种探索的冲动，所用的探索方法即曲线与方程思想及利用方程研究曲线性质的方法，需要学生有良好的学科素养和知识迁移能力.

12. 设双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，过$F_{2}$作平行于$y$轴的直线交$C$于$A,B$两点，若$|F_{1}A| = 13$，$|AB| = 10$，则$C$的离心率为_______.

答案： 12.$\frac{3}{2}$ 双曲线的定义、离心率、对称性(理性思维) 解法一(直接法) 由$|AB| = 10$及双曲线的对称性得$|AF_2|=\frac{|AB|}{2}=5$，(题眼)因为$|AF_1| = 13$，所以$2a=|AF_1|-|AF_2|=13 - 5 = 8$，$2c=|F_1F_2|=\sqrt{|AF_1|^2-|AF_2|^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$，所以$a = 4$，$c = 6$，则$C$的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
解法二(二级结论) 因为$|AB| = 10$，所以$\frac{2b^2}{a}=10$，所以$\frac{b^2}{a}=\frac{c^2 - a^2}{a}=5$，又$|AF_1| = 13$，所以$|F_1F_2| = 2c=\sqrt{|AF_1|^2-(\frac{|AB|}{2})^2}=12$，得$c = 6$，所以$a^2 + 5a - 36 = 0$，得$a = 4$，所以$C$的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
(二级结论：椭圆和双曲线的通径长均为$\frac{2b^2}{a}$)
考情速递 合理控制试题的计算量，尽量避免繁难运算 本题通过应用双曲线的定义和对称性，可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解，从而有效地减少计算量，节省考试时间.
考教衔接 本题源自人教 A 版选择性必修第一册第 124 页练习第 1 题.

13. 若曲线$y = e^{x}+x$在点$(0,1)$处的切线也是曲线$y = \ln(x + 1)+a$的切线，则$a = $_______.

答案： 13.$\ln 2$ 导数的几何意义(理性思维、数学探索) 由题，令$f(x)=e^x + x$，则$f'(x)=e^x + 1$，所以$f'(0)=2$，所以曲线$y = e^x + x$在点$(0,1)$处的切线方程为$y = 2x + 1$. 令$g(x)=\ln(x + 1)+a$，则$g'(x)=\frac{1}{x + 1}$，设直线$y = 2x + 1$与曲线$y = g(x)$相切于点$(x_0,y_0)$，则$\frac{1}{x_0 + 1}=2$，得$x_0=-\frac{1}{2}$，则$y_0=2x_0 + 1 = 0$，(题眼)所以$0=\ln(-\frac{1}{2}+1)+a$，所以$a=\ln 2$.
考教衔接 本题源自人教 A 版选择性必修第二册第 104 页复习参考题 5 第 13 题.

14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字$1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字$2,4,6,8$. 两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）. 则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_______.

答案： 14.$\frac{1}{2}$ 古典概型(理性思维、数学探索、数学应用) 因为甲出卡片 1 一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为 3. (题眼)
若甲的总得分为 3，则甲出卡片 3,5,7 时都赢，所以只有 1 种组合：$3 - 2,5 - 4,7 - 6,1 - 8$.
若甲的总得分为 2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片 3 和 5 时赢，只有 1 种组合，为$3 - 2,5 - 4,1 - 6,7 - 8$；
第二类，当甲出卡片 3 和 7 时赢，有$3 - 2,7 - 4,1 - 6,5 - 8$或$3 - 2,7 - 4,1 - 8,5 - 6$或$3 - 2,7 - 6,1 - 4,5 - 8$，共 3 种组合；
第三类，当甲出卡片 5 和 7 时赢，有$5 - 2,7 - 4,1 - 6,3 - 8$或$5 - 2,7 - 4,1 - 8,3 - 6$或$5 - 4,7 - 2,1 - 6,3 - 8$或$5 - 4,7 - 2,1 - 8,3 - 6$或$5 - 2,7 - 6,1 - 4,3 - 8$或$5 - 2,7 - 6,1 - 8,3 - 4$或$5 - 4,7 - 6,1 - 2,3 - 8$，共 7 种组合.
综上，甲的总得分不小于 2 共有 12 种组合，(题眼)而所有不同的组合共有$4\times3\times2\times1 = 24$(种)，所以甲的总得分不小于 2 的概率$P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$.

15. (13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C = $\sqrt{2}\cos B$,$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3 + $\sqrt{3}$,求c.

答案： 15.正弦定理+余弦定理+三角形的面积公式(理性思维、数学探索)
解:
(1)第1步:利用余弦定理求C
由余弦定理得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，(2分)
又$0 ＜ C ＜ \pi$，$\therefore C=\frac{\pi}{4}$。(3分)
第2步:将C代入已知等式求B
$\therefore\sqrt{2}\cos B=\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\cos B=\frac{1}{2}$，(5分)
又$0 ＜ B ＜ \pi$，$\therefore B=\frac{\pi}{3}$。(6分)
(2)第1步:求A
由
(1)得$A=\pi - B - C=\frac{5\pi}{12}$，(8分)
第2步:利用正弦定理得出a,c的关系
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$\therefore a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}c$。(10分)
第3步:利用三角形面积公式求c
$\therefore\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1+\sqrt{3}}{4}c^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$，
得$c = 2\sqrt{2}$。(13分)
考教衔接　本题源自人教A版必修第二册第54页习题6.4第22题。
归纳总结　掌握并加以识记一些常见的三角函数值，如$\cos\frac{\pi}{12}=\sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin\frac{\pi}{12}=\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，可以提升解题效率。