《2025年金考卷特快专递高中数学》

18.(本小题13分)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
　　　　
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望EX;
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中EX估计值的大小.(结论不要求证明)

答案： 频率估计概率+离散型随机变量的分布列、数学期望(理性思维、数学探索、数学应用)
解:
(1)解法一(正面计算)　记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A,
由索赔次数不少于2,知索赔次数为2,3,4，　　　　　　　　(1分)
所以$P(A)=\frac{60 + 30 + 10}{1000}=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$.　　　　　　　　　　(3分)
解法二(反面计算)　记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A,
由索赔次数不少于2,知可利用间接法计算,
则$P(A)=1-\frac{800 + 100}{1000}=\frac{1}{10}$.　　　　　　　　　　　　　　(3分)
(2)(i)由题知X的所有可能取值为0.4,-0.4,-1.2,-2.0,-2.6，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
则$P(X = 0.4)=\frac{800}{1000}=0.8$,
$P(X = -0.4)=\frac{100}{1000}=0.1$,
$P(X = -1.2)=\frac{60}{1000}=0.06$,
$P(X = -2.0)=\frac{30}{1000}=0.03$,
$P(X = -2.6)=\frac{10}{1000}=0.01$,　　　　　　　　　　　　　　(9分)
故$EX=0.4×0.8 - 0.4×0.1 - 1.2×0.06 - 2.0×0.03 - 2.6×0.01 = 0.122$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11分)
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(i)中EX估计值大.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)
证明如下:
设调整保费后一份保单的毛利润(单位:万元)为Y,则
对于索赔次数为0的保单,$Y = 0.4×(1 - 4\%) = 0.384$,
对于索赔次数为1的保单,$Y = 0.4×(1 + 20\%) - 0.8 = -0.32$,
对于索赔次数为2的保单,$Y = -0.32 - 0.8 = -1.12$,
对于索赔次数为3的保单,$Y = -1.12 - 0.8 = -1.92$,
对于索赔次数为4的保单,$Y = -1.92 - 0.6 = -2.52$,
故$EY=0.384×0.8 - 0.32×0.1 - 1.12×0.06 - 1.92×0.03 - 2.52×0.01 = 0.1252$.
所以$EX ＜ EY$.
考情速递　体现数学应用学科素养　本题的保险公司保单问题有着现实的背景，以保险公司保费收取方案为情境素材，引导学生用所学的知识解决社会实践活动中的问题

19.(本小题15分)已知椭圆E:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点$(0,t)(t ＞ \sqrt{2})$且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和$C(0,1)$的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.

答案： 直线与椭圆的位置关系(理性思维、数学探索)
解:
(1)第1步:结合题意得到b，c
由题意可知$b = \sqrt{2},c = \sqrt{2}$,　　　　　　　　　　　　　　　(1分)
第2步:由椭圆的基本量间的关系求a
所以$a = \sqrt{b^{2}+c^{2}} = 2$,　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
第3步:写出椭圆E的方程、离心率
故椭圆E的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$,离心率$e = \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.　　　　(4分)
(2)第1步:设出点A,B的坐标及直线AB的方程
设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,直线AB的方程为$y = kx + t(k\neq0)$，　(5分)
第2步:联立方程，利用根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$
联立得$\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\\y = kx + t\end{cases}$,得$(1 + 2k^{2})x^{2}+4ktx + 2t^{2}-4 = 0$.　　　　(7分)
所以$\Delta=(4kt)^{2}-4(1 + 2k^{2})(2t^{2}-4)＞0$,即$4k^{2}-t^{2}+2＞0$,
由根与系数的关系得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{4kt}{1 + 2k^{2}}\\x_{1}x_{2}=\frac{2t^{2}-4}{1 + 2k^{2}}\end{cases}$ ①.　　　　　　　(9分)
第3步:由共线关系列　等式
由椭圆的对称性可得$D(-x_{2},y_{2})$,
因为A,C,D三点共线,所以$k_{AC}=k_{CD}$,　　　　　　　　　　(10分)
所以$\frac{y_{1}-1}{x_{1}}=\frac{y_{2}-1}{-x_{2}}$,即$x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-(x_{1}+x_{2}) = 0$.　　　　　(11分)
第4步:代入直线方程消元
由$y_{1}=kx_{1}+t,y_{2}=kx_{2}+t$,得$x_{1}(kx_{2}+t)+x_{2}(kx_{1}+t)-(x_{1}+x_{2}) = 0$,
整理得$2kx_{1}x_{2}+(t - 1)(x_{1}+x_{2}) = 0$ ②,　　　　　　　　(13分)
第5步:将①代入②求得t
所以$2k\cdot\frac{2t^{2}-4}{1 + 2k^{2}}+(t - 1)\cdot\frac{-4kt}{1 + 2k^{2}} = 0$,
解得$t = 2$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15分)