《2025年金考卷特快专递高中数学》

1. 已知集合$M = \{ x\mid - 3 ＜ x ＜ 1\},N = \{ x\mid - 1\leqslant x ＜ 4\}$，则$M\cup N=$
A. $\{ x\mid - 1\leqslant x ＜ 1\}$　　　　
　B. $\{ x\mid x ＞ - 3\}$
C. $\{ x\mid - 3 ＜ x ＜ 4\}$　　　　
　D. $\{ x\mid x ＜ 4\}$

答案： C 集合的并运算(理性思维) 由集合的并运算,得 $M\cup N = \{x|-3 ＜ x ＜ 4\}$

2. 若复数$z$满足$\frac{z}{\mathrm{i}} = - 1 - \mathrm{i}$，则$z=$
A. $- 1 - \mathrm{i}$　　　　　　　
　B. $- 1 + \mathrm{i}$
C. $1 - \mathrm{i}$　　　　　　　　
　D. $1 + \mathrm{i}$

答案： C 复数的乘法运算(理性思维) 由题意得,$z = i(-1 - i)=1 - i$

3. 圆$x^{2} + y^{2} - 2x + 6y = 0$的圆心到直线$x - y + 2 = 0$ 的距离为
A. $\sqrt{2}$　　　
　B. 2　　　　
　C. 3　　　　
　D. $3\sqrt{2}$

答案： D 圆的标准方程+点到直线的距离公式(理性思维) 化圆的方程为标准方程,得 $(x - 1)^{2}+(y + 3)^{2}=10$,(题眼)所以该圆的圆心 $(1,-3)$到直线 $x - y + 2 = 0$的距离为 $\frac{|1-(-3)+2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

4. 在$(x - \sqrt{x})^{4}$的展开式中，$x^{2}$的系数为
A. 6　　　　
　B. $- 6$　　　
　C. 12　　　
　D. $- 12$

答案： A 二项式定理(理性思维) 解法一(公式法) $(x-\sqrt{x})^{4}$的展开式的通项 $T_{r + 1}=C_{4}^{r}x^{4 - r}(-\sqrt{x})^{r}=(-1)^{r}C_{4}^{r}x^{4-\frac{r}{2}}(r = 0,1,2,3,4)$.
(题眼)由 $4-\frac{r}{2}=3$,得 $r = 2$,(方法技巧:运用 $T_{r + 1}=C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}$求展开式中的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出 $r$,再求所需的项;有时需先求 $n$,计算时要注意 $n$和 $r$的取值范围及它们之间的大小关系)所以 $(x-\sqrt{x})^{4}$的展开式中 $x^{3}$的系数为 $(-1)^{2}C_{4}^{2}=6$.
解法二(组合数法) $(x-\sqrt{x})^{4}$的展开式中含 $x^{3}$的项是由 $(x-\sqrt{x})(x-\sqrt{x})(x-\sqrt{x})(x-\sqrt{x})$中任意取2个括号内的 $x$与剩余的2个括号内的 $(-\sqrt{x})$相乘得到的,(题眼)所以 $(x-\sqrt{x})^{4}$的展开式中含 $x^{3}$的项为 $C_{4}^{2}x^{2}\cdot C_{2}^{2}(-\sqrt{x})^{2}=6x^{3}$,所以 $(x-\sqrt{x})^{4}$的展开式中 $x^{3}$的系数为6.

5. 设$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是向量，则“$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 0$”是“$\boldsymbol{a} = - \boldsymbol{b}$或$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B 充分条件与必要条件+向量的数量积(理性思维、数学探索) 由 $(a + b)\cdot(a - b)=0$,得 $a^{2}-b^{2}=0$,即 $|a|^{2}-|b|^{2}=0$,所以 $|a| = |b|$,(题眼)当 $a=(1,1),b=(-1,1)$时,$|a| = |b|$,但 $a\neq b$且 $a\neq -b$,故充分性不成立;当 $a=-b$或 $a = b$时,$(a + b)\cdot(a - b)=0$,故必要性成立.所以“ $(a + b)\cdot(a - b)=0$”是“ $a=-b$或 $a = b$”的必要不充分条件.

设函数f(x)= sinwx(w>0). 已知 f(x1）= - 1，$f(x_{2}) = 1$,且$|x_{1}-x_{2}|$的最小值为$\frac{\pi}{2}$,则$\omega =$

A. 1　　　　
　B. 2　　　　
　C. 3　　　　
　D. 4

答案： 6.B 正弦函数的图象与性质(理性思维) 因为$f(x)=\sin\omega x\in[-1,1]$，且$f(x_{1})=-1,f(x_{2}) = 1,|x_{1}-x_{2}|_{\min}=\frac{\pi}{2}$，(知识积累：正弦函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个最小正周期)所以$f(x)$的最小正周期$T = 2\times\frac{\pi}{2}=\pi$，(题眼)所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$.
考向预见 对三角函数的图象与性质的考查是历年来高考的热点，主要从以下两个方面进行考查：
(1)三角函数的图象，涉及图象的平移变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，如2023年全国甲卷文、理科都考查了图象的平移变换；
(2)利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，如本题考查根据正弦型函数的特征求参数.

7. 生物丰富度指数$d = \frac{S - 1}{\ln N}$是河流水质的一个评价指标,其中$S,N$分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数$d$越大,水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数$S$没有变化,生物个体总数由$N_{1}$变为$N_{2}$,生物丰富度指数由 2. 1提高到 3. 15,则

A. $3N_{2}=2N_{1}$　　　　　　
　B. $2N_{2}=3N_{1}$
C. $N_{2}^{2}=N_{1}^{3}$　　　　　　　
　D. $N_{2}^{3}=N_{1}^{2}$

答案： 7.D 函数模型的实际应用(理性思维、数学应用、数学探索) 由题意，得$\frac{S - 1}{\ln N_{1}}=2.1,\frac{S - 1}{\ln N_{2}}=3.15$. (题眼)若$S$不变，则$2.1\ln N_{1}=3.15\ln N_{2}$，即$2\ln N_{1}=3\ln N_{2}$，所以$N_{1}^{2}=N_{2}^{3}$. (提示：公式$\log_{a}M^{N}=N\log_{a}M$的应用)
考情速递 应用中育素养 本题是以生态文明建设中河流治理为背景，以生物丰富度指数由低到高的改变为情境，让学生去判断治理前后生物个体总数之间的变化关系，体会我国在绿色生态保护方面所做的努力，增强学生的环保意识.
考教衔接 本题以对数为载体考查数学应用学科素养，源于人教A版必修第一册第126页例5，且2023年新课标Ⅰ卷第10题考查的也是函数模型的应用，同学们在高考备考中一定要注重对此类题型的训练.

8. 如图,在四棱锥$P - ABCD$中,底面$ABCD$是边长为 4 的正方形,$PA = PB = 4$,$PC = PD = 2\sqrt{2}$,该棱锥的高为


A. 1　　　　
　B. 2　　　　
　C. $\sqrt{2}$　　　
　D. $\sqrt{3}$

答案：
8.D 棱锥的性质+线面垂直的判定与性质(理性思维、数学探索) 由题意知$\triangle PAB$为正三角形，因为$PC^{2}+PD^{2}=CD^{2}$，所以$PC\perp PD$. (题眼)如图，分别取$AB,CD$的中点$E,F$，连接$PE,EF,PF$，则$PE = 2\sqrt{3}$，$PF = 2,EF = 4$，于是$PE^{2}+PF^{2}=EF^{2}$，所以$PE\perp PF$. (归纳：利用勾股定理的逆定理证明线线垂直是常用的方法)过点$P$作$PG\perp EF$，垂足为$G$.易知$CD\perp PF,CD\perp EF,EF,PF\subset$平面$PEF$，且$EF\cap PF = F$，所以$CD\perp$平面$PEF$. 又$PG\subset$平面$PEF$，所以$CD\perp PG$. 又$PG\perp EF,CD,EF\subset$平面$ABCD,CD\cap EF = F$，所以$PG\perp$平面$ABCD$，所以$PG$为四棱锥$P - ABCD$的高. (方法：通过线面垂直确定四棱锥的高，这是关键)由$\frac{1}{2}PE\cdot PF=\frac{1}{2}EF\cdot PG$，得$PG=\frac{PE\cdot PF}{EF}=\frac{2\sqrt{3}\times2}{4}=\sqrt{3}$. (方法：等面积法的应用)故选D.

考情速递 凸显人才选拔功能 本题考查学生的空间想象能力，让具有理性思维、科学精神与创新能力的学生脱颖而出.

9. 已知$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$是函数$y = 2^{x}$的图象上两个不同的点,则

A. $\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＜\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$　　
　B. $\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$
C. $\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＜x_{1}+x_{2}$　　
　D. $\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞x_{1}+x_{2}$

答案： 9.B 指数函数的性质+基本不等式+指数、对数的运算(理性思维、数学探索) 因为$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$为函数$y = 2^{x}$的图象上两个不同的点，所以$y_{1}=2^{x_{1}},y_{2}=2^{x_{2}}$，且$x_{1}\neq x_{2}$，则$2^{x_{1}}\neq2^{x_{2}}$，(易错警示：这是一个极易忽略的点)所以$y_{1}+y_{2}=2^{x_{1}}+2^{x_{2}}＞2\sqrt{2^{x_{1}}\cdot2^{x_{2}}}=2\sqrt{2^{x_{1}+x_{2}}}$，(题眼)所以$\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞\sqrt{2^{x_{1}+x_{2}}}＞0$，所以$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞\log_{2}\sqrt{2^{x_{1}+x_{2}}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，故选B.

10. 已知$M = \{ (x,y)|y = x + t(x^{2}-x),1\leqslant x\leqslant2,0\leqslant t\leqslant1\}$是平面直角坐标系中的点集. 设$d$是$M$中两点间的距离的最大值,$S$是$M$表示的图形的面积,则
A. $d = 3,S ＜ 1$
B. $d = 3,S ＞ 1$
C. $d = \sqrt{10},S ＜ 1$
D. $d = \sqrt{10},S ＞ 1$

答案：
10. C 集合 + 二次函数的图象 + 两点间的距离公式(理性思维、数学探索、数学应用) 第1步:画出集合M表示的区域
设$f(t)=x+(x^{2}-x)t$,当$x = 1$时,$f(t)=1$;当$1 ＜ x\leqslant2$时,$x^{2}-x＞0$,所以$f(t)$单调递增,所以当$0\leqslant t\leqslant1$时,$f(0)\leqslant f(t)\leqslant f(1)$,即$x\leqslant f(t)\leqslant x^{2}$,则集合M表示的区域如图中阴影部分所示.(难点:画出平面区域)

第2步:根据图形进行计算及估算
连接$AC$,由图易知,$d = |AC|=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{10}$,$S ＜ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times(4 - 2)\times(2 - 1)=1$,故选C.

11. 抛物线$y^{2}=16x$的焦点坐标为________.

答案： 11. $(4,0)$ 抛物线的方程及性质(理性思维) 由题意,知$p = 8$,(题眼)(易错警示:对抛物线的标准方程认识不清,误认为$p = 16$)则$\frac{p}{2}=4$,所以抛物线$y^{2}=16x$的焦点坐标为$(4,0)$.

12. 在平面直角坐标系$xOy$中,角$\alpha$与角$\beta$均以$Ox$为始边,它们的终边关于原点对称. 若$\alpha\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$,则$\cos\beta$的最大值为________.

答案： 12. $-\frac{1}{2}$ 角的概念 + 诱导公式 + 余弦函数的性质(理性思维、数学探索) 因为$\alpha$与$\beta$的终边关于原点对称,所以$\beta=2k\pi+\pi+\alpha(k\in\mathbf{Z})$,(题眼)所以$\cos\beta=\cos(2k\pi+\pi+\alpha)=-\cos\alpha$.因为$\alpha\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$,所以$\cos\alpha\in[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$,所以$\cos\beta\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}]$,所以$\cos\beta$的最大值为$-\frac{1}{2}$.

13. 若直线$y = k(x - 3)$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$只有一个公共点,则$k$的一个取值为________.

答案： 13. $\frac{1}{2}$(答案不唯一) 双曲线的方程及性质(理性思维、数学探索)
由题意,知该双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{1}{2}x$,直线$y = k(x - 3)$过定点$(3,0)$.(题眼)因为点$(3,0)$在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,(小结:定点$P$在双曲线内,过点$P$且与双曲线只有一个交点的直线有两条,且这两条直线与渐近线平行;过点$P$且与双曲线有两个交点的直线有无数条,与双曲线无交点的直线有0条)所以$k=\pm\frac{1}{2}$.
考向预见 双曲线是高考常考内容,常考类型有四点:第一,双曲线的定义和标准方程;第二,双曲线的简单几何性质;第三,直线与双曲线的位置关系;第四,直线与双曲线相交,弦长问题.预测2025年高考大概率考查双曲线的定义与性质、直线与双曲线的位置关系的问题.求解与双曲线几何性质有关的问题时,常结合图形进行分析.当涉及双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴等时,需要厘清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.

14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱. 若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列,底面直径依次为65 mm,325 mm,325 mm,且斛量器的高为230 mm,则斗量器的高为________mm,升量器的高为________mm. (不计量器的厚度)

答案： 14. 23 57.5 圆柱的体积公式 + 等比数列(理性思维、数学探索、数学应用) 设升、斗量器的高分别为$h_{1}\text{ mm}$,$h_{2}\text{ mm}$,升、斗、斛量器的容积分别为$V_{1}\text{ mm}^{3}$,$V_{2}\text{ mm}^{3}$,$V_{3}\text{ mm}^{3}$,因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列,(题眼)所以$V_{3}=10V_{2}$,即$\pi\times(\frac{325}{2})^{2}\times230 = 10\times\pi\times(\frac{325}{2})^{2}\times h_{2}$,(提示:圆柱的体积$V=\pi r^{2}h$,其中$r$为圆柱的底面半径,$h$为圆柱的高)解得$h_{2}=23$.又$V_{2}=10V_{1}$,即$\pi\times(\frac{325}{2})^{2}\times23 = 10\times\pi\times(\frac{65}{2})^{2}\times h_{1}$,所以$h_{1}=57.5$,所以升、斗量器的高分别为$57.5\text{ mm}$,$23\text{ mm}$.
考情速递 文化中树自信 本题选择中国历史上一件标准量器“铜嘉量”为题材,进行问题设计,考查学生对圆柱的体积和等比数列基础知识的掌握情况.“铜嘉量”体现了数学美与艺术创造美之间的巧妙结合,被后世视为度量衡制作的楷模.学生通过解决此题,了解中华优秀传统文化的博大精深,增强民族自信,厚植爱国情怀.

15. 设$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$是两个不同的无穷数列,且都不是常数列. 记集合$M = \{ k|a_{k}=b_{k},k\in\mathbf{N}^{*}\}$,给出下列四个结论：
①若$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$均为等差数列,则$M$中最多有1个元素;
②若$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$均为等比数列,则$M$中最多有2个元素;
③若$\{ a_{n}\}$为等差数列,$\{ b_{n}\}$为等比数列,则$M$中最多有3个元素;
④若$\{ a_{n}\}$为递增数列,$\{ b_{n}\}$为递减数列,则$M$中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是________.

答案：
15. ①③④ 等差数列 + 等比数列 + 集合(理性思维 + 数学探索)
对于①:由题知$a_{n}$,$b_{n}$是关于$n$的一次式,对应的函数为一次函数,(提示:等差数列$\{a_{n}\}$的通项可化简为$a_{n}=An + B(A\neq0)$的形式,是关于$n$的一次式)即点$(n,a_{n})$,$(n,b_{n})$分别在两条斜率均不为0的直线上,而这两条直线最多有1个交点,所以$M$中最多有1个元素,所以①正确.
对于②:不妨取$a_{n}=2^{n}$,$b_{n}=(-2)^{n}$,则有$a_{2k}=2^{2k}=4^{k}$,$b_{2k}=(-2)^{2k}=4^{k}(k\in\mathbf{N}^{*})$,所以$a_{2k}=b_{2k}(k\in\mathbf{N}^{*})$,此时$M$中有无数个元素,所以②不正确.
对于③:由①知点$(n,a_{n})$在一条斜率不为0的直线$l_{0}$上.设$b_{n}=b_{1}q^{n - 1}(q\neq1)$,当公比$q＞0$时,直线$l_{0}$与数列$\{b_{n}\}$对应的函数的图象至多有2个公共点,$M$中最多有2个元素;当$q ＜ - 1$时,点$(n,b_{n})$在如图所示的曲线$C_{1}$,$C_{2}$上,由图易知直线$l_{0}$与曲线$C_{1}$,$C_{2}$至多有3个公共点,如当$a_{n}=3n - 4$,$b_{n}=-1\times(-2)^{n - 1}$时,$a_{1}=b_{1}=-1$,$a_{2}=b_{2}=2$,$a_{4}=b_{4}=8$,两个数列有3项相同,所以$M$中最多有3个元素;

当$q=-1$时,易知$M$中最多有2个元素;当$-1 ＜ q ＜ 0$时,易知$M$中最多有3个元素.综上可知,当$\{a_{n}\}$为等差数列,$\{b_{n}\}$为等比数列时,$M$中最多有3个元素,所以③正确.
对于④:若数列$\{a_{n}\}$为递增数列,数列$\{b_{n}\}$为递减数列,则它们对应的函数分别为单调递增函数和单调递减函数,两个函数图象的公共点最多有1个,(方法:转化为考虑一个单调递增函数与一个单调递减函数图象的公共点问题)所以$M$中最多有1个元素,所以④正确.
综上可知,正确结论的序号为①③④.