《2025年金考卷特快专递高中数学》

14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为$r_{1}$，下底面半径均为$r_{2}$，圆台的母线长分别为$2(r_{2}-r_{1}),3(r_{2}-r_{1})$，则圆台甲与乙的体积之比为_________.

答案： 14.$\frac{\sqrt{6}}{4}$ 圆台的几何特征与体积公式的应用(理性思维、数学探索) 两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积之比为高之比,根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为$\frac{\sqrt{4(r_{2}-r_{1})^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}}{\sqrt{9(r_{2}-r_{1})^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.
解后反思 本题需要熟悉圆台的体积公式,根据公式特点将体积之比实现转化.

15. 已知$a ＞ 1$且$\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{a}4}=-\frac{5}{2}$，则$a =$________.

答案： 15.64 对数的运算性质与换底公式的应用(理性思维、数学应用) 根据题意有$\frac{1}{\frac{1}{3}\log_{a}2}-\frac{1}{2\log_{a}2}=-\frac{5}{2}$,即$3\log_{a}2-\frac{1}{2\log_{a}2}=-\frac{5}{2}$,设t = $\log_{a}2(a＞1)$,则t＞0,故$3t-\frac{1}{2t}=-\frac{5}{2}$,得$t=\frac{1}{6}(t = - 1$舍去),所以$\log_{a}2=\frac{1}{6}$,所以$a^{\frac{1}{6}}=2$,所以a = 64.

17. (12分)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$2S_{n}=3a_{n + 1}-3$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{ S_{n}\}$的前$n$项和.

答案： 等比数列的通项公式 + $S_{n}$和$a_{n}$的关系
解：
(1)第1步：将关系式中的$n$换为$n + 1$
因为$2S_{n}=3a_{n + 1}-3$，所以$2S_{n + 1}=3a_{n + 2}-3$， (2分)
第2步：两式相减，利用$S_{n + 1}-S_{n}=a_{n}$转化，求等比数列$\{ a_{n}\}$的公比
两式相减可得$2a_{n + 1}=3a_{n + 2}-3a_{n + 1}$，
即$a_{n + 2}=\frac{5}{3}a_{n + 1}$，所以等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$\frac{5}{3}$. (4分)
第3步：利用$S_{1}=a_{1}$求出首项$a_{1}$，进而得$\{ a_{n}\}$的通项公式
因为$2S_{1}=3a_{2}-3 = 5a_{1}-3$，所以$a_{1}=1$，故$a_{n}=(\frac{5}{3})^{n - 1}$. (6分)
(2)因为$2S_{n}=3a_{n + 1}-3$，所以$S_{n}=\frac{3}{2}(a_{n + 1}-1)=\frac{3}{2}[(\frac{5}{3})^{n}-1]$， (8分)
设数列$\{ S_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，则$T_{n}=\frac{3}{2}\times\frac{\frac{5}{3}[1 - (\frac{5}{3})^{n}]}{1-\frac{5}{3}}-\frac{3}{2}n=\frac{15}{4}\times(\frac{5}{3})^{n}-\frac{3}{2}n-\frac{15}{4}$. (12分)

16. 曲线$y = x^{3}-3x$与$y = -(x - 1)^{2}+a$在$(0,+\infty)$上有两个不同的交点，则$a$的取值范围为_________.

答案： 16.(-2,1) 曲线的交点问题 令$x^{3}-3x=-(x - 1)^{2}+a$,则a = $x^{3}-3x+(x - 1)^{2}$,设$h(x)=x^{3}-3x+(x - 1)^{2}$,则$h'(x)=3x^{2}-3+2(x - 1)=(3x + 5)(x - 1)$,$\because x＞0,\therefore3x + 5＞0$,当0 ＜ x ＜ 1时,$h'(x)＜0$,当x＞1时,$h'(x)＞0,\therefore h(x)$在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.$\because$曲线$y=x^{3}-3x$与$y=-(x - 1)^{2}+a$在(0,+∞)上有两个不同的交点,$h(0)=1,h(1)=-2,\therefore$a的取值范围为(-2,1).

18. (12分)某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
　　
(1)填写如下列联表：
　　　　　　
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率$p = 0.5$. 设$\overline{p}$为升级改造后抽取的$n$件产品的优级品率. 如果$\overline{p}＞p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（$\sqrt{150}\approx12.247$）
附：$K^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，$n = a + b + c + d$.

答案： 独立性检验(理性思维、数学探索、数学应用)
解：
(1)第1步：填写列联表
填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30 (2分)
第2步：作出完整的$2\times2$列联表
则完整的$2\times2$列联表如下：
优级品 非优级品 总计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150 (4分)
第3步：根据公式求$K^{2}$
$K^{2}=\frac{150\times(26\times30 - 70\times24)^{2}}{96\times54\times50\times100}=4.6875$. (6分)
第4步：根据$K^{2}$的值判断
因为$K^{2}=4.6875＞3.841$，所以有$95\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； (7分)
因为$K^{2}=4.6875＜6.635$，所以没有$99\%$的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (8分)
(2)第1步：求出$\overline{p}$
由题意可知$\overline{p}=\frac{96}{150}=0.64$， (9分)
第2步：求出$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$的值
又$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}=0.5 + 1.65\times\sqrt{\frac{0.5\times(1 - 0.5)}{150}}\approx0.5+1.65\times\frac{0.5}{12.247}\approx0.57$， (11分)
第3步：由$\overline{p}$与$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$的大小关系判断
所以$\overline{p}＞p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，所以能认为生产线智能化升级改造后该工厂产品的优级品率提高了. (12分)