《2025年金考卷特快专递高中数学》

1.设$z = \sqrt{2}\mathrm{i}$，则$z\cdot\overline{z}=$
A. -2
B. $\sqrt{2}$
C. $-\sqrt{2}$
D. 2

答案： 复数的四则运算+共轭复数 因为$z = \sqrt{2}i$，所以$\overline{z}=-\sqrt{2}i$，$z\cdot\overline{z}=2$，故选D.

2.若集合$A = \{1,2,3,4,5,9\}$，$B = \{x|x + 1\in A\}$，则$A\cap B =$
A. \{1,3,4\}
B. \{2,3,4\}
C. \{1,2,3,4\}
D. \{0,1,2,3,4,9\}

答案： 集合的交运算 因为$B = \{x|x + 1\in A\}$，分别令$x + 1 = 1$，$x + 1 = 2$，$x + 1 = 3$，$x + 1 = 4$，$x + 1 = 5$，$x + 1 = 9$，得$x = 0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$8$，所以$B = \{0,1,2,3,4,8\}$，于是$A\cap B = \{1,2,3,4\}$，故选C.

3.(新教材不作要求)若$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}4x - 3y - 3\geqslant0 \\x - 2y - 2\leqslant0 \\2x + 6y - 9\leqslant0\end{cases}$，则$z = x - 5y$的最小值为
A. $\frac{1}{2}$
B. 0
C. $-\frac{5}{2}$
D. $-\frac{7}{2}$

答案： 线性规划(数学探索) 根据不等式组，画出可行域如图所示，作出直线$x - 5y = 0$并平移，则当平移后的直线过点A时，z取得最小值，由$\begin{cases}4x - 3y - 3 = 0\\2x + 6y - 9 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = \frac{3}{2}\\y = 1\end{cases}$，所以$A(\frac{3}{2},1)$，所以$z_{min}=\frac{3}{2}-5\times1=-\frac{7}{2}$. 故选D.

4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： 古典概型 画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，故选B.

5.已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{9} = 1$，则$a_{3} + a_{7}=$
A. -2
B. $\frac{7}{3}$
C. 1
D. $\frac{2}{9}$

答案： 等差数列的通项公式、前n项和公式+等差中项 解法一
设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为d，由$S_{9}=9a_{1}+\frac{9\times8}{2}d = 9(a_{1}+4d)=1$，得$a_{1}+4d=\frac{1}{9}$，则$a_{3}+a_{7}=a_{1}+2d+a_{1}+6d = 2a_{1}+8d = 2(a_{1}+4d)=\frac{2}{9}$，故选D.
解法二 因为$\{a_{n}\}$为等差数列，所以$S_{9}=\frac{9(a_{1}+a_{9})}{2}=9a_{5}=1$，得$a_{5}=\frac{1}{9}$，则$a_{3}+a_{7}=2a_{5}=\frac{2}{9}$，故选D.

6. 已知双曲线的两个焦点分别为$(0,4),(0,-4)$，点$(-6,4)$在该双曲线上，则该双曲线的离心率为
A. 4
B. 3
C. 2
D.$\sqrt{2}$

答案： 6.C 双曲线的方程与几何性质(理性思维、数学探索) 解法一(方程组法) 根据焦点坐标可知c = 4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$,则$\begin{cases}\frac{16}{a^{2}}-\frac{36}{b^{2}} = 1\\a^{2}+b^{2}=16\end{cases}$,得$\begin{cases}a = 2\\b = 2\sqrt{3}\end{cases}$,所以离心率$e=\frac{c}{a}=2$.
解法二(定义法) 根据双曲线的定义,得2a = $|\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(4 - 4)^{2}}-\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(4 + 4)^{2}}|=|6 - 10| = 4$,根据焦点坐标可知c = 4,所以离心率$e=\frac{2c}{2a}=\frac{8}{4}=2$.
考情速递 强调对思维能力的考查,助力拔尖创新人才选拔 本题通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算,从而减少计算量,节省考试时间.

7. 设函数$f(x)=\frac{e^{x}+2\sin x}{1 + x^{2}}$，则曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 7.A 导数的几何意义(理性思维、数学应用) $f'(x)=\frac{(e^{x}+2\cos x)(1 + x^{2})-(e^{x}+2\sin x)\cdot2x}{(1 + x^{2})^{2}}$,所以$f'(0)=3$,所以曲线y = f(x)在点(0,1)处的切线方程为y - 1 = 3(x - 0),即3x - y + 1 = 0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),$(-\frac{1}{3},0)$,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$,故选A.

8. 函数$f(x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x$在区间$[-2.8,2.8]$的图象大致为
　
　

答案： 8.B 函数图象的识别(理性思维、数学应用) 排除法 由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)^{2}+(e^{-x}-e^{x})sin(-x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})sin x = f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C;$f(1)=-1+(e-\frac{1}{e})\sin1＞-1+(e-\frac{1}{e})\sin\frac{\pi}{6}=-1+\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}＞0$,排除D.故选B.

9. 已知$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\sqrt{3}$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=$
A.$2\sqrt{3}+1$
B.$2\sqrt{3}-1$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1-\sqrt{3}$

答案： 9.B 三角恒等变换(数学应用、数学探索) 根据题意有$\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$1-\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$\tan\alpha=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha + 1}{1-\tan\alpha}=\frac{2-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}-1$,故选B.

10. 已知直线$ax + y + 2 - a = 0$与圆$C:x^{2}+y^{2}+4y - 1 = 0$交于$A,B$两点，则$|AB|$的最小值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案： 10.C 圆的方程+直线与圆的位置关系+弦长公式 设直线为l:ax + y + 2 - a = 0,即l:a(x - 1)+y + 2 = 0,易知l过定点P(1,-2),圆C的标准方程为$x^{2}+(y + 2)^{2}=5$,所以圆心为C(0,-2),半径为$\sqrt{5}$,且P在圆C内.因为当PC⊥AB时,圆心C到直线l的距离最大,此时|AB|取得最小值,易得|PC| = $|x_{P}-x_{C}| = 1$,所以|AB| = $2\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}} = 4$,故选C.

11. 设$\alpha,\beta$为两个平面，$m,n$为两条直线，且$\alpha\cap\beta = m$，下述四个命题：
①若$m// n$，则$n//\alpha$或$n//\beta$
②若$m\perp n$，则$n\perp\alpha$或$n\perp\beta$
③若$n//\alpha$且$n//\beta$，则$m// n$
④若$n$与$\alpha,\beta$所成的角相等，则$m\perp n$
其中所有真命题的编号是
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①③④

答案： 11.A 空间线面位置关系的判断(理性思维、数学探索) $\alpha\cap\beta=m$,则$m\subset\alpha,m\subset\beta$,对于①,若m//n,则n//α或$n//\beta$,①正确;对于②,若m⊥n,则可能n//α或n与α相交,②错误;对于③,若n//α且$n//\beta$,则n//m,③正确;对于④,n与m所成角可以为$[0,\frac{\pi}{2}]$内的任意角,④错误.故选A.

12. 在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$B=\frac{\pi}{3},b^{2}=\frac{9}{4}ac$，则$\sin A+\sin C=$
A.$\frac{2\sqrt{39}}{13}$
B.$\frac{\sqrt{39}}{13}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案： 12.C 正、余弦定理在解三角形中的应用(理性思维、数学探索) 由正弦定理得$\frac{9}{4}\sin A\sin C=\sin^{2}B$,因为$B=\frac{\pi}{3}$,所以$\sin A\sin C=\frac{4}{9}\sin^{2}B=\frac{1}{3}$.由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\cos B=a^{2}+c^{2}-ac=\frac{9}{4}ac$,所以$a^{2}+c^{2}=\frac{13}{4}ac$,所以$\sin^{2}A+\sin^{2}C=\frac{13}{4}\sin A\sin C$,所以$(\sin A+\sin C)^{2}=\sin^{2}A+\sin^{2}C+2\sin A\sin C=\frac{21}{4}\sin A\sin C=\frac{7}{4}$,又$\sin A＞0,\sin C＞0$,所以$\sin A+\sin C=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

13. 函数$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$在$[0,\pi]$上的最大值是_______.

答案： 13.2 辅助角公式+三角函数的最值 由题意知$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})$,当$x\in[0,\pi]$时,$x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$,$\therefore\sin(x-\frac{\pi}{3})\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$,于是$f(x)\in[-\sqrt{3},2]$,故f(x)在[0,π]上的最大值为2.