《2025年金考卷特快专递高中数学》

13. $(\frac{1}{3} + x)^{10}$的展开式中，各项系数中的最大值为________.

答案： 13.5 二项式定理(理性思维、数学探索) $(\frac{1}{3} + x)^{10}$的展开式的通项公式为$T_{r + 1} = C_{10}^{r}(\frac{1}{3})^{10 - r}x^{r}$,则各项的系数分别为$C_{10}^{0}(\frac{1}{3})^{10}$,$C_{10}^{1}(\frac{1}{3})^{9}$,$C_{10}^{2}(\frac{1}{3})^{8}$,$C_{10}^{3}(\frac{1}{3})^{7}$,$C_{10}^{4}(\frac{1}{3})^{6}$,$C_{10}^{5}(\frac{1}{3})^{5}$,$C_{10}^{6}(\frac{1}{3})^{4}$,$C_{10}^{7}(\frac{1}{3})^{3}$,$C_{10}^{8}(\frac{1}{3})^{2}$,$C_{10}^{9}(\frac{1}{3})^{1}$,$C_{10}^{10}(\frac{1}{3})^{0}$,观察发现二项式系数先增大后减小,且前后对称,指数式递增,分别计算$C_{10}^{5}(\frac{1}{3})^{5}$,$C_{10}^{6}(\frac{1}{3})^{4}$,$C_{10}^{7}(\frac{1}{3})^{3}$,$C_{10}^{8}(\frac{1}{3})^{2}$,$C_{10}^{9}(\frac{1}{3})^{1}$,$C_{10}^{10}(\frac{1}{3})^{0}$,比较可得,$C_{10}^{8}(\frac{1}{3})^{2} = 5$最大.
解后反思 本题若严格按照展开式的通项公式建立不等式组求出$r$的范围,再精确求解最大项,则难于计算,可以建立不等式组,通过代入整数验证的方式减少运算量,准确观察出通项公式中系数的特征,采用估计加验证的方式求解是解决问题的最佳方式.

14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为$r_{1}$，下底面半径均为$r_{2}$，圆台的母线长分别为$2(r_{2} - r_{1}),3(r_{2} - r_{1})$，则圆台甲与乙的体积之比为________.

答案： 14.$\frac{\sqrt{6}}{4}$ 圆台的几何特征与体积公式的应用(理性思维、数学探索) 两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积之比为高之比,根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为$\frac{\sqrt{4(r_{2} - r_{1})^{2} - (r_{2} - r_{1})^{2}}}{\sqrt{9(r_{2} - r_{1})^{2} - (r_{2} - r_{1})^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
解后反思 本题需要熟悉圆台的体积公式,根据公式特点将体积之比实现转化.

15. 已知$a ＞ 1$且$\frac{1}{\log_{8}a} - \frac{1}{\log_{a}4} = -\frac{5}{2}$，则$a =$________.

答案： 15.64 对数的运算性质与换底公式的应用(理性思维、数学应用) 根据题意有$\frac{1}{\frac{1}{3}\log_{2}a} - \frac{1}{2\log_{a}2} = -\frac{5}{2}$,即$3\log_{a}2 - \frac{1}{2\log_{a}2} = -\frac{5}{2}$,设$t = \log_{a}2(a＞1)$,则$t＞0$,故$3t - \frac{1}{2t} = -\frac{5}{2}$,得$t = \frac{1}{6}(t = -1$舍去),所以$\log_{a}2 = \frac{1}{6}$,所以$a^{\frac{1}{6}} = 2$,所以$a = 64$.

16. 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，设$m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$为取出的三个球上数字的平均值，则$m$与$n$之差的绝对值不大于$\frac{1}{2}$的概率为________.

答案： 16.$\frac{7}{15}$ 古典概型(数学应用、数学探索) 设 3 次取出的球上的数字依次为$a,b,c$,则无放回地随机取 3 次球的取法有$A_{6}^{3} = 120$(种),则$|m - n| = |\frac{a + b}{2} - \frac{a + b + c}{3}| = |\frac{a + b - 2c}{6}|\leq\frac{1}{2}$,可得$|a + b - 2c|\leq3$.
当$c = 1$时,$a,b$需要满足“$1\leq a + b\leq5$”,所有可能情况为$(2,3),(3,2)$,共 2 种.
当$c = 2$时,$a,b$需要满足“$1\leq a + b\leq7$”,所有可能情况为$(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,4),(4,3)$,共 10 种.
当$c = 3$时,$a,b$需要满足“$3\leq a + b\leq9$”,所有可能情况为$(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(4,5),(5,4)$,共 16 种.
当$c = 4$时,$a,b$需要满足“$5\leq a + b\leq11$”,所有可能情况为$(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(6,5),(5,6)$,共 16 种.
当$c = 5$时,$a,b$需要满足“$7\leq a + b\leq13$”,所有可能情况为$(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4)$,共 10 种.
当$c = 6$时,$a,b$需要满足“$9\leq a + b\leq15$”,所有可能情况为$(4,5),(5,4)$,共 2 种.
故共有$2 + 10 + 16 + 16 + 10 + 2 = 56$(种)可能情况,所以所求概率$P = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$.
考情速递 从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养 试题不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.

某工厂进行生产线智能化升级改造。升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

(1)填写如下列联表：
　　　　
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p = 0.5.设$\overline{p}$为升级改造后抽取的n件产品的优级品率. 如果$\overline{p}＞p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$，则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（$\sqrt{150}\approx12.247$）
附：

答案：
17.独立性检验(理性思维、数学探索、数学应用)
解:
(1)第1步:填写列联表
填写如下列联表:
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
第2步:作出完整的2×2列联表
则完整的2×2列联表如下:
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
第3步:根据公式求$K^{2}$
$K^{2}=\frac{150\times(26\times30 - 70\times24)^{2}}{96\times54\times50\times100}=4.6875$.　　　　　　　　　(6分)
第4步:根据$K^{2}$的值判断
因为$K^{2}=4.6875＞3.841$,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异;　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分)
因为$K^{2}=4.6875＜6.635$,所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
(2)第1步:求出$\overline{p}$
由题意可知$\overline{p}=\frac{96}{150}=0.64$,　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
第2步:求出$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$的值
又$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}=0.5 + 1.65\times\sqrt{\frac{0.5\times(1 - 0.5)}{150}}\approx0.5 + 1.65\times\frac{0.5}{12.247}\approx0.57$,　　　　　　　　　　　　　　　　(11分)
第3步:由$\overline{p}$与$p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$的大小关系判断
所以$\overline{p}＞p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$,所以能认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.　　　　　　　　　　　　　(12分)

18.（12分）记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$4S_{n}=3a_{n}+4$.
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）设$b_{n}=(-1)^{n - 1}na_{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 18.数列中$a_{n}$和$S_{n}$的关系+等比数列的定义、通项公式+数列求和(理性思维、数学探索)
解:
(1)第1步:根据数列中$a_{n}$和$S_{n}$的关系求数列$\{ a_{n}\}$的递推关系
因为$4S_{n}=3a_{n}+4$①,所以当$n\geq2$时,$4S_{n - 1}=3a_{n - 1}+4$②,
(1分)
则当$n\geq2$时,① - ②得$4a_{n}=3a_{n}-3a_{n - 1}$,即$a_{n}=-3a_{n - 1}$.(数列中$a_{n}$和$S_{n}$的关系:当$n\geq2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$;当$n = 1$时,$a_{1}=S_{1}$)
(3分)
第2步:求出$a_{1}$
当$n = 1$时,由$4S_{n}=3a_{n}+4$得$4a_{1}=3a_{1}+4$,所以$a_{1}=4\neq0$,
(4分)
第3步:求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式
所以数列$\{ a_{n}\}$是以4为首项,-3为公比的等比数列,(易错警示:由$a_{n}=-3a_{n - 1}(n\geq2)$还不能说数列$\{ a_{n}\}$是等比数列,必须说明其首项不为0才可以)
所以$a_{n}=4\times(-3)^{n - 1}$.(延伸拓展:若一个数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$与$a_{n}$满足$S_{n}=pa_{n}+r$,且$p\neq0,p\neq1,r\neq0$,则数列$\{ a_{n}\}$是等比数列.所以由本题所给条件$4S_{n}=3a_{n}+4$,可以立刻判断出数列$\{ a_{n}\}$是等比数列)
(5分)
(2)解法一(错位相减法) 第1步:求出数列$\{ b_{n}\}$的通项公式
因为$b_{n}=(-1)^{n - 1}na_{n}=(-1)^{n - 1}n\times4\times(-3)^{n - 1}=4n\cdot3^{n - 1}$,
(7分)
第2步:利用错位相减法求$T_{n}$
所以$T_{n}=4\times3^{0}+8\times3^{1}+12\times3^{2}+\cdots+4n\cdot3^{n - 1}$,
所以$3T_{n}=4\times3^{1}+8\times3^{2}+12\times3^{3}+\cdots+4n\cdot3^{n}$,
(8分)
两式相减得$-2T_{n}=4 + 4(3^{1}+3^{2}+\cdots+3^{n - 1})-4n\cdot3^{n}=4 + 4\times\frac{3(1 - 3^{n - 1})}{1 - 3}-4n\cdot3^{n}=-2+(2 - 4n)\cdot3^{n}$,
(11分)
所以$T_{n}=1+(2n - 1)\cdot3^{n}$.(方法总结:若一个数列的通项为$a_{n}b_{n}$的形式,其中数列$\{ a_{n}\}$为等差数列,数列$\{ b_{n}\}$为等比数列,则求数列$\{ a_{n}b_{n}\}$的前$n$项和时,可以利用错位相减法)
(12分)
解法二(裂项求和) 第1步:求出数列$\{ b_{n}\}$的通项公式
$b_{n}=(-1)^{n - 1}na_{n}=(-1)^{n - 1}n\times4\times(-3)^{n - 1}=4n\cdot3^{n - 1}$,
(7分)
第2步:利用待定系数法对$b_{n}$进行裂项
令$b_{n}=(kn + b)\cdot3^{n}-[k(n - 1)+b]\cdot3^{n - 1}$,
则$b_{n}=(kn + b)\cdot3^{n}-[k(n - 1)+b]\cdot3^{n - 1}=3^{n - 1}[3kn + 3b - k(n - 1)-b]=(2kn + 2b + k)\cdot3^{n - 1}$,
所以$\begin{cases}2k = 4\\2b + k = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = 2\\b = - 1\end{cases}$,
即$b_{n}=(2n - 1)\cdot3^{n}-[2(n - 1)-1]\cdot3^{n - 1}=(2n - 1)\cdot3^{n}-(2n - 3)\cdot3^{n - 1}$,
(10分)
第3步:求和
所以$T_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n}=1\times3^{1}-(-1)\times3^{0}+3\times3^{2}-1\times3^{1}+5\times3^{3}-3\times3^{2}+\cdots+(2n - 1)\cdot3^{n}-(2n - 3)\cdot3^{n - 1}=(2n - 1)\cdot3^{n}-(-1)\times3^{0}=(2n - 1)\cdot3^{n}+1$.
(12分)
讲疑难 如何对一个数列的通项进行裂项呢? 对一个数列的通项进行裂项时,首先要保证相近性,即裂成的每一项与数列的通项的形式相近.例如本题的$b_{n}=4n\cdot3^{n - 1}$,把它裂成$b_{n}=(kn + b)\cdot3^{n}-[k(n - 1)+b]\cdot3^{n - 1}$,每一项均与$b_{n}=4n\cdot3^{n - 1}$的形式相近,其次要保证递推性,即分裂成的两项是某个数列等距的相邻的两项,或者是某个数列等距的两项,不相邻也可以.再如$c_{n}=n(n + 1)$,可以裂为$c_{n}=\frac{1}{3}[n(n + 1)(n + 2)-(n - 1)n(n + 1)]$.