《2025年新课程示径学案作业设计七年级数学下册苏科版》

例 1 解下列方程组。
（1）$\begin{cases}x = 3 \\ 2x + 3y - z = 12 \\ x + 2y + z = 17\end{cases}$
（2）$\begin{cases}3x + 2y + z = 39 \\ 2x + 3y + z = 34 \\ x + 2y + 3z = 26\end{cases}$

答案： （1）将$x = 3$代入$2x + 3y - z = 12$得$6 + 3y - z = 12$，即$3y - z = 6$；代入$x + 2y + z = 17$得$3 + 2y + z = 17$，即$2y + z = 14$。两式相加：$5y = 20$，解得$y = 4$，则$z = 3×4 - 6 = 6$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 4 \\ z = 6\end{cases}$
（2）$3x + 2y + z = 39$减$2x + 3y + z = 34$得$x - y = 5$，即$x = y + 5$；$2x + 3y + z = 34$乘 3 减$x + 2y + 3z = 26$得$5x + 7y = 76$，将$x = y + 5$代入得$5(y + 5) + 7y = 76$，解得$y = \frac{17}{4}$，$x = \frac{37}{4}$，代入$3x + 2y + z = 39$得$z = \frac{11}{4}$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{37}{4} \\ y = \frac{17}{4} \\ z = \frac{11}{4}\end{cases}$

同质训练 解下列方程组。
（1）$\begin{cases}x + 2y + 4z = 19 \\ y = 2 \\ x - 2y + 3z = 9\end{cases}$
（2）$\begin{cases}x + y + z = 12 \\ x + 2y + 5z = 22 \\ x = 4y\end{cases}$
（3）$\begin{cases}z = x + y \\ x + y + z = 6 \\ x - y = 3\end{cases}$
（4）$\begin{cases}3x + 2y + z = 18 \\ 2x + 3y - z = 2 \\ x - 16y + 3z = 8\end{cases}$

答案： （1）将$y = 2$代入$x + 2y + 4z = 19$得$x + 4 + 4z = 19$，即$x + 4z = 15$；代入$x - 2y + 3z = 9$得$x - 4 + 3z = 9$，即$x + 3z = 13$。两式相减：$z = 2$，$x = 15 - 8 = 7$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 7 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}$
（2）将$x = 4y$代入$x + y + z = 12$得$5y + z = 12$；代入$x + 2y + 5z = 22$得$6y + 5z = 22$。由$5y + z = 12$得$z = 12 - 5y$，代入$6y + 5z = 22$得$6y + 5(12 - 5y) = 22$，解得$y = 2$，$x = 8$，$z = 2$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 8 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}$
（3）将$z = x + y$代入$x + y + z = 6$得$2(x + y) = 6$，即$x + y = 3$，与$x - y = 3$相加：$2x = 6$，解得$x = 3$，$y = 0$，$z = 3$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 0 \\ z = 3\end{cases}$
（4）$3x + 2y + z = 18$加$2x + 3y - z = 2$得$5x + 5y = 20$，即$x + y = 4$，$x = 4 - y$；$2x + 3y - z = 2$乘 3 加$x - 16y + 3z = 8$得$7x - 7y = 14$，即$x - y = 2$，将$x = 4 - y$代入得$4 - 2y = 2$，解得$y = 1$，$x = 3$，代入$3x + 2y + z = 18$得$z = 7$。所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1 \\ z = 7\end{cases}$

例 2 在等式$y = ax^2 + bx + c$中，当$x = -1$时，$y = 0$；当$x = 2$时，$y = 3$；当$x = 5$时，$y = 60$，求$a,b,c$的值。

答案： 代入得$\begin{cases}a - b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 3 \\ 25a + 5b + c = 60\end{cases}$，$4a + 2b + c - (a - b + c) = 3 - 0$得$3a + 3b = 3$，即$a + b = 1$；$25a + 5b + c - (4a + +2b + c) = 60 - 3$得$21a + 3b = 57$，即$7a + b = 19$。两式相减：$6a = 18$，解得$a = 3$，$b = -2$，代入$a - b + c = 0$得$c = -5$。所以$a = 3$，$b = -2$，$c = -5$

同质训练 在等式$y = ax^2 + bx + c$中，当$x = 0$时，$y = -5$；当$x = 2$时，$y = 3$；当$x = -2$时，$y = 11$。
（1）求$a,b,c$的值。
（2）小苏发现：当$x = -1$或$x = \frac{5}{3}$时，$y$的值相等。请分析小苏的发现是否正确。

答案： （1）代入得$\begin{cases}c = -5 \\ 4a + 2b + c = 3 \\ 4a - 2b + c = 11\end{cases}$，将$c = -5$代入得$\begin{cases}4a + 2b = 8 \\ 4a - 2b = 16\end{cases}$，相加：$8a = 24$，解得$a = 3$，$b = -2$。所以$a = 3$，$b = -2$，$c = -5$
（2）$y = 3x^2 - 2x - 5$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{3}$，$x = -1$与$x = \frac{5}{3}$到对称轴距离均为$\frac{4}{3}$，所以$y$值相等，小苏的发现正确