《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

1. 在四边形ABCD中,AD//BC,AB = CD. 下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 ( )
A. AB//CD
B. AD = BC
C. ∠A = ∠B
D. ∠A = ∠D

答案： C

2. 如图,矩形ABCD中,BD = 2$\sqrt{5}$,AB在x轴上,且点A的横坐标为 - 1. 若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧,交x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为 ( )
　　　　
A. (2 + $\sqrt{5}$,0)
B. (2$\sqrt{5}$ + 1,0)
C. (2$\sqrt{5}$ - 1,0)
D. (2$\sqrt{5}$,0)

答案： C

3. 如图,矩形ABCD中,AB = 4,BC = 8,如果将该矩形沿对角线BD折叠,那么阴影部分的面积是 .
　

答案： 10

4. 如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM//AB交AD于点M,若OM = 2,BC = 8,则OB的长为 .
　

答案： $2\sqrt{5}$

5. 如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且AE = DF.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠BAE:∠EAD = 2:3,求∠AOE的度数.
　　　　　

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$。
∵$AE\perp BD$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，
∴$\angle AEO=\angle DFO = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEO$和$\triangle DFO$中，$\begin{cases}\angle AEO=\angle DFO,\\\angle AOE=\angle DOF,\\AE = DF,\end{cases}$
∴$\triangle AEO\cong\triangle DFO(AAS)$，
∴$OA = OD$，
∴$AC = BD$，
∴四边形$ABCD$是矩形。
(2)解：由
(1)得，四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle ABC=\angle BAD = 90^{\circ}$，$OA = OB$，
∴$\angle OAB=\angle OBA$。
∵$AE\perp BD$于点$E$，
∴$\angle AEO = 90^{\circ}$。
∵$\angle BAE:\angle EAD = 2:3$，
∴$\angle BAE = 36^{\circ}$，
∴$\angle OBA=\angle OAB = 90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$，
∴$\angle AOE = 180^{\circ}-\angle OAB-\angle OBA = 180^{\circ}-54^{\circ}-54^{\circ}=72^{\circ}$。

6. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE//BC,DF//AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.
(1)求证:四边形ECFD是矩形;
(2)若CF = 2,CE = 4,求点C到EF的距离.
　　　　　

答案：

(1)证明：
∵$FD// CA$，$BC// DE$，
∴四边形$ECFD$为平行四边形。
又
∵$\angle C = 90^{\circ}$，
∴四边形$ECFD$为矩形。
(2)解：过点$C$作$CH\perp EF$于点$H$，如答图。
在$Rt\triangle ECF$中，$CF = 2$，$CE = 4$，
∴$EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{16 + 4}=2\sqrt{5}$。
∵$S_{\triangle ECF}=\frac{1}{2}CF\cdot CE=\frac{1}{2}EF\cdot CH$，
∴$CH=\frac{CF\cdot CE}{EF}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点$C$到$EF$的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。