《2025年聚能闯关期末复习冲刺卷七年级数学下册人教版》

3. (6分)一个底面半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中装满水，杯高为$\frac{64}{\pi}$ cm，现将这杯水倒入一个正方体容器中，正好达到容器容积的$\frac{1}{4}$处，求正方体容器的棱长.(玻璃杯及容器的厚度忽略不计)

答案： 解：由已知，得玻璃杯的容积$=\pi\times4^{2}\times\frac{64}{\pi}=1024$（$cm^{3}$）， $\therefore$正方体容器的容积$=4\times1024 = 4096$（$cm^{3}$） 设其棱长为$x$，则有$x^{3}=4096$， $\therefore x=\sqrt[3]{4096}=16$ 故正方体容器的棱长为16 cm.

4. (6分)已知某正数的两个不相等的平方根分别是$a - 3$和$2a + 15$，$b$的立方根是 -2，求$\sqrt{\frac{ab}{2}}$的平方根.

答案： 解：根据题意，得$a - 3 + 2a + 15 = 0$ 解得$a = -4$ $\because b$的立方根是 -2， $\therefore b = (-2)^{3} = -8$ $\therefore\sqrt{\frac{ab}{2}}=\sqrt{\frac{(-4)\times(-8)}{2}}=\sqrt{16}=4$ $\because 4$的平方根为$\pm2$， $\therefore\sqrt{\frac{ab}{2}}$的平方根为$\pm2$

5. (10分)(1)已知$\sqrt{29}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a^{2}-b^{2}$的值；
(2)把下列无限循环小数化成分数：
①$0.\dot{6}$； ②$0.\dot{2}\dot{3}$； ③$0.\dot{1}0\dot{7}$.

答案： 解：（1）因为$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，所以$5＜\sqrt{29}＜6$ 所以$a = 5$，$b=\sqrt{29}-5$ 故$a^{2}-b^{2}=5^{2}-(\sqrt{29}-5)^{2}=(5+\sqrt{29}-5)\times(5-\sqrt{29}+5)=10\sqrt{29}-29$ （2）①令$x = 0.\dot{6}$，则$10x = 6.\dot{6}$， 所以$9x = 6$， 故$x=\frac{2}{3}$，即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$ ②令$x = 0.\dot{2}\dot{3}$，则$100x = 23.\dot{2}\dot{3}$， 所以$99x = 23$， 故$x=\frac{23}{99}$，即$0.\dot{2}\dot{3}=\frac{23}{99}$ ③令$x = 0.\dot{1}0\dot{7}$，则$1000x = 107.\dot{1}0\dot{7}$， 所以$999x = 107$， 故$x=\frac{107}{999}$，即$0.\dot{1}0\dot{7}=\frac{107}{999}$