《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中物理选择性必修第二册人教版》

[变式训练1] “太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图所示。辐射状的加速电场区域Ⅰ边界为两个同心平行扇形弧面，$O_{1}$为圆心，圆心角$\theta$为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为$U_{0}$，M为外圆弧的中点。在紧靠$O_{1}$右侧有一圆形匀强磁场区域Ⅱ，圆心为$O_{2}$，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且磁感应强度大小为$B = \sqrt{\frac{2mU_{0}}{qL^{2}}}$，在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ。已知$MO_{1}O_{2}$和PNQ为两条平行线，且与$O_{2}N$连线垂直。假设太空中散布着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面上，经电场从静止开始加速，然后从$O_{1}$进入磁场，并最终到达PNQ板被收集。忽略一切万有引力和粒子之间的作用力。
　　　　　
(1)求粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小；
(2)求从M点出发的粒子在磁场中运动的半径R；
(3)假设所有粒子从AB弧面同时出发，则最先到达收集板的是从哪一点出发的粒子？求出该粒子从$O_{1}$至收集板的时间。[名师点拨]见答案册P215

答案：
答案
(1)$\sqrt{\frac{2qU_{0}}{m}}$
(2)L
(3)A点 $\frac{(9 + \pi)L}{6}\sqrt{\frac{m}{2qU_{0}}}$
解析
(1)带电粒子在电场中加速的过程，根据动能定理有：$qU_{0}=\frac{1}{2}mv^{2}-0$
解得：$v=\sqrt{\frac{2qU_{0}}{m}}$。
(2)从M点出发的粒子到达O₁点后水平进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$
解得：$R = L$。
(3)所有从AB弧面同时出发的粒子，同时到达O₁点，在磁场中运动的速度大小相等，做匀速圆周运动的半径均为L，则所有粒子在磁场中的入射点、出射点、轨迹圆心与O₂的连线均构成菱形，即它们经过磁场偏转后都从磁场边界垂直于PNQ射出，最终到达PNQ板被收集，轨迹如图所示。

从各个粒子的运动轨迹可以看出，轨迹1的长度最小，所以从A点出发的粒子运动的时间最短，最先到达收集板；根据图形以及几何知识可知，该粒子在磁场中偏转了30°，所以在磁场中运动的时间为：$t_{1}=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}T=\frac{1}{12}\cdot\frac{2\pi m}{qB}=\frac{\pi L}{6}\sqrt{\frac{m}{2qU_{0}}}$
出磁场后匀速运动的时间为：$t_{2}=\frac{L+\frac{L}{2}}{v}=\frac{3L}{2v}=\frac{3L}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU_{0}}}$
该粒子从O₁至收集板的时间为：$t = t_{1}+t_{2}=\frac{(9 + \pi)L}{6}\sqrt{\frac{m}{2qU_{0}}}$。