《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中物理选择性必修第二册人教版》

例1 如图在第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第二、三、四象限内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场。一带正电粒子从x轴上的M点以速度$v_{0}$沿与x轴正方向成60°角射入第二象限，恰好垂直于y轴从N点进入匀强电场，从x轴上的P点再次进入匀强磁场，且在P点速度$v = \sqrt{2}v_{0}$，已知磁场的范围足够大，$ON = h$，$OM=\sqrt{3}h$，粒子的比荷为k，不计粒子重力。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)匀强电场的电场强度E的大小；
(3)粒子从P点进入匀强磁场后再次到达x轴的位置与M点的距离以及经历的时间。
　　　　　　　　　　
[规范解答] ______________________________

答案：

(1)粒子从M点运动到N点做匀速圆周运动，轨迹如图中①所示，设轨迹圆的半径为r₁，根据洛伦兹力提供向心力有$qv_{0}B = m\frac{v_{0}^{2}}{r_{1}}$
由几何关系有$r_{1}\sin60^{\circ}=\sqrt{3}h$
联立解得$B = \frac{mv_{0}}{2qh}=\frac{v_{0}}{2kh}$。
(2)粒子从N点运动到P点做类平抛运动，轨迹如图中②所示，在P点沿y轴负方向的分速度$v_{y}=\sqrt{v^{2}-v_{0}^{2}} = v_{0}$
则从N点到P点，沿y轴负方向有$v_{y}^{2}=2ah$
其中加速度a满足$qE = ma$
联立解得$E = \frac{mv_{0}^{2}}{2qh}=\frac{v_{0}^{2}}{2kh}$。
(3)粒子从P点进入磁场至再次到达x轴的运动轨迹如图中③所示

设粒子从P点进入磁场时速度与x轴正方向夹角为θ，则有$\tan\theta=\frac{v_{y}}{v_{0}} = 1$
得$\theta = 45^{\circ}$
设粒子从N到P的运动时间为t，由匀变速直线运动规律有$\frac{v_{y}t}{2}=h$
又$v_{0}t = OP$
解得$OP = 2h$
由$qvB = m\frac{v^{2}}{r_{2}}$
解得粒子再次进入磁场后运动的轨迹半径$r_{2}=\frac{\sqrt{2}mv_{0}}{qB}=2\sqrt{2}h$
由几何关系知，过P点作速度v的垂线与y轴交点O₂即为粒子之后做圆周运动的圆心，设粒子再次回到x轴到达P'点，可得P'与P关于原点O对称，故$OP' = 2h$
P'点与M点的距离$s = OP'-OM=(2 - \sqrt{3})h$
粒子从P点进入磁场后，做圆周运动的周期$T=\frac{2\pi r_{2}}{v}=\frac{4\pi h}{v_{0}}$
从P点到P'点运动轨迹所对应的圆心角$\alpha = 270^{\circ}$
所经历的时间$t'=\frac{\alpha}{360^{\circ}}T=\frac{3\pi h}{v_{0}}$。
参考详解答案
[答案]
(1)$\frac{v_{0}}{2kh}$
(2)$\frac{v_{0}^{2}}{2kh}$
(3)$(2 - \sqrt{3})h$ $\frac{3\pi h}{v_{0}}$