《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中物理选择性必修第二册人教版》

[变式训练2] 如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为$q(q＞0)$的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为$v_{1}$，离开磁场时速度方向偏转$90^{\circ}$；若射入磁场时的速度大小为$v_{2}$，离开磁场时速度方向偏转$60^{\circ}$。不计重力，则$\frac{v_{1}}{v_{2}}$为（提示：若粒子沿直径射入圆形匀强磁场区域，则离开磁场时速度的反向延长线一定过磁场区域圆心）（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\sqrt{3}$

答案：
B [根据题意作出粒子的轨迹圆如图所示。设圆形磁场区域的半径为R，粒子速度大小为$v_1$、$v_2$时在磁场中的轨道半径分别为$r_1$、$r_2$，则根据几何关系有$r_1 = R$，$r_2=\sqrt{3}R$。根据洛伦兹力提供向心力有$qvB=\frac{mv^2}{r}$，可得$v=\frac{qBr}{m}$，所以$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故B正确。]

例1 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，其横截面如图所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r和2r，圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m、电荷量为q的带电粒子，不计粒子重力及粒子间的相互作用。为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过（ ）


A. $\frac{qBr}{m}$
B. $\frac{3qBr}{4m}$
C. $\frac{(\sqrt{2}+1)qBr}{m}$
D. $\frac{(\sqrt{2}-1)qBr}{m}$

答案：
例1　[规范解答]　粒子的运动轨迹与磁场外边界相切时，粒子恰好不射出磁场外边界，设此时粒子速度为v，运动的轨迹圆圆心为O₁，粒子在磁场中的轨迹圆半径为R，如图所示

则由几何关系得(2r - R)² = R² + r²，解得R = $\frac{3r}{4}$，又qvB = m$\frac{v^{2}}{R}$，可得v = $\frac{3Bqr}{4m}$，故选B。
[答案]　B