《2025年启东中学作业本七年级数学下册人教版》

6. (2023.海门期末)已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 3y = 4 - a \\ x - y = 3a\end{cases}$，给出下列结论：①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a = -2$；②当$a = 1$时，方程组的解也是方程$x + y = 4 + 2a$的解；③无论$a$取什么实数，$x + 2y$的值始终不变；④若用含$x$的式子表示$y$，则$y = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$。其中正确的结论是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ①③④
D. ②③④

答案： C

7. (2023.海州区期末)已知有理数$m,n$满足$m + n = 3$，且$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4 \\ 2m + 3n = -2\end{cases}$，求$k$的值。
三名同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于$m,n$的方程组$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4 \\ 2m + 3n = -2\end{cases}$，得到$m,n$用含$k$的代数式表示，再代入$m + n = 3$，就可以求$k$的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，利用得到的式子与$m + n = 3$的等量关系，求$k$的值；
丙同学：先解方程组$\begin{cases}m + n = 3 \\ 2m + 3n = -2\end{cases}$，再求$k$的值。
请选择其中一名同学的思路，解答此题。

答案： 解：答案不唯一，如选择乙同学的思路：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4, &①\\2m + 3n = - 2, &②\end{cases}$
① + ②，得 5m + 5n = 7k - 6，
∴m + n = $\frac{7k - 6}{5}$.
∵m + n = 3，
∴$\frac{7k - 6}{5}$ = 3，
解得 k = 3.

8. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x + y = -2 \\ ax - by = -8\end{cases}$和$\begin{cases}bx + ay = -4 \\ 3x - y = 12\end{cases}$的解相同，求$(2a + b)^{2024}$的值。

答案： 解：由题意得方程组$\begin{cases}2x + y = - 2,\\3x - y = 12,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = - 6.\end{cases}$
把$\begin{cases}x = 2,\\y = - 6\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = - 8,\\bx + ay = - 4,\end{cases}$得$\begin{cases}2a + 6b = - 8,\\- 6a + 2b = - 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{1}{5},\\b = - \frac{7}{5},\end{cases}$
∴(2a + b)^{2024} = $(2×\frac{1}{5} - \frac{7}{5})^{2024}$ = 1.

9. 已知$m$满足$\begin{cases}x + 2y - m = 0 \\ 2x + y + 1 + 2m = 0\end{cases}$，且满足$|x + y - 2024| = -|2024 - x - y|$，求$m$的值。

答案： 解：
∵|x + y - 2024| = - |2024 - x - y|，
∴$\begin{cases}x + y - 2024 = 0,\\2024 - x - y = 0,\end{cases}$即 x + y = 2024.
$\begin{cases}x + 2y - m = 0, &①\\2x + y + 1 + 2m = 0, &②\end{cases}$
(① + ②)÷3，得 x + y = - $\frac{m + 1}{3}$，
∴ - $\frac{m + 1}{3}$ = 2024，解得 m = - 6073.