《2025年启东中学作业本七年级数学下册人教版》

1.综合与实践:
本学期我们在第八章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容.
| |平方根|立方根|
|--|--|--|
|定义|一般地，如果一个数x的平方等于a，即$x^{2}=a$，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根|一般地，如果一个数x的立方等于a，即$x^{3}=a$，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根|
|运算|求一个数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算|求一个数的立方根的运算，叫作开立方.开立方与立方互为逆运算|
|特征|正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根|正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数|
|表示方法|正数a的平方根可以用“$\pm\sqrt{a}$”表示，读作“正、负根号a”|一个数a的立方根可以用“$\sqrt[3]{a}$”表示，读作“三次根号a”|
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根.

[类比探究]
(1)探究定义:填写下表.
　　　　　　　　　　　

类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义:______________________________.

[探究性质]
(2)①81的四次方根是________;0的四次方根是________;−4________(填“有”或“没有”)
四次方根.
②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质:______________________________.
③在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个:______________________________.

[拓展应用]
(3)①$\pm\sqrt[4]{256}=$________;(将结果直接填在横线上)
②比较大小:$\sqrt{3}$________$\sqrt[3]{8}$.(填“＞”“＜”或“＝”)

答案：
(1)±2 一般地，如果一个数x的四次方等于a，即$x^{4}=a$，那么这个数x叫作a的四次方根
(2)①±3 0 没有
②正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根
③类比思想、分类讨论思想(答案不唯一)
(3)①±4
②＜

2.综合与实践:

[观察发现]$\because\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$.

[解决问题]
(1)求$\sqrt{19}$的整数部分和小数部分;
(2)已知$5a + 2$的立方根是3，$3a + b - 1$的算术平方根是4，c是$\sqrt{13}$的整数部分，求$3a - b + c$的平方根.

答案： 解：
(1)
∵16＜19＜25，
∴$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，
∴4＜$\sqrt{19}$＜5，
∴$\sqrt{19}$的整数部分为4，小数部分为$\sqrt{19}-4$.
(2)
∵5a + 2的立方根是3，3a + b - 1的算术平方根是4，
∴5a + 2 = 27，3a + b - 1 = 16，
解得a = 5，b = 2.
∵c是$\sqrt{13}$的整数部分，
∴c = 3，
∴3a - b + c = 3×5 - 2 + 3 = 16，
∴3a - b + c的平方根是±4.