《2025年启东中学作业本七年级数学下册人教版》

1.综合与实践:
[问题情境]
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线MN，PQ和一块含45°角的直角三角尺ABC”为主题展开数学活动。
[探究发现]
如图①，小明把三角尺中45°角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E。
（1）若∠1 = 70°，则∠2的度数为_______；
（2）如图②，请你探究∠α与∠β之间的数量关系，并说明理由；
[延伸拓展]
（3）如图③，AB⊥PQ，把三角尺ABC从图③的位置开始绕点B顺时针旋转n°(0＜n＜180)，当直线AC与MN相交所成的锐角是63°时，求∠PBA的度数。

答案：

(1)20°
(2)解：∠α与∠β之间的数量关系为∠β=∠α+45°。
理由如下：
∵MN//PQ，
∴∠β=∠ADM。
∵∠ADM+∠ADE=180°，∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∴∠ADM=∠A+∠AED。
又
∵∠A=45°，∠AED=∠α，
∴∠β=∠α+45°。
(3)解：分以下情况：
①当0＜n＜45时，如答图①，直线AC与MN相交所成的锐角∠NEC的范围是45°＜∠NEC＜90°，∠NEC可能为63°。

当∠NEC=63°时，由
(2)的结论可得，∠PBA=∠NEC+45°=63°+45°=108°。
②当45＜n＜90时，如答图②，直线AC与MN相交所成的锐角∠FEN的范围是45°＜∠FEN＜90°，∠FEN可能为63°。

当∠FEN=63°时，
∠NEC=180° - 63°=117°，
由
(2)的结论可得，∠PBA=∠NEC+45°=117°+45°=162°。
③当90＜n＜135时，如答图③，直线AC与MN相交所成的锐角∠FEN的范围是0°＜∠FEN＜45°，∠FEN不可能为63°，不满足题意。

④当135＜n＜180时，如答图④，直线AC与MN相交所成的锐角∠FEM的范围是0°＜∠FEM＜45°，∠FEM不可能为63°，不满足题意。

综上所述，∠PBA的度数为108°或162°。

2.综合与实践:学习了相交线、平行线的相关知识后，某数学兴趣小组利用手中的一副三角尺进行了探究，发现并提出了一些数学问题。如图，他们将两把直角三角尺的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A = 30°，∠B = 60°，∠D = ∠E = 45°。
（1）猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD = 3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角尺ABC不动，将三角尺DCE绕顶点C转动，试探究∠BCD等于多少度时，CE//AB。


第2题图

答案：
解：
(1)∠BCD+∠ACE=180°。理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∠ACE=∠ECD - ∠ACD=90° - ∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+90° - ∠ACD=180°。
(2)设∠ACE=α，则∠BCD=3α，
∵∠BCD+∠ACE=180°，
∴3α+α=180°，
∴α=45°，
∴∠BCD=3α=135°。
(3)分两种情况：
①如答图①，

∵AB//CE，
∴∠BCE+∠B=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BCE=120°。
又
∵∠DCE=90°，
∴∠BCD=360° - 120° - 90°=150°。
②如答图②，

∵AB//CE，
∴∠BCE=∠B=60°。
又
∵∠DCE=90°，
∴∠BCD=90° - 60°=30°。
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE//AB。