《2025年启东中学作业本七年级数学下册人教版》

5. 如图，AB//CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD = 120°. 求∠BED的度数.
　　

答案：
解：如答图，过点F作FG//AB，则∠BFG=∠ABF.
　　　　　　　
∵AB//CD，
∴FG//CD，
∴∠CDF=∠DFG，
∴∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠DFG=∠BFD=120°.
∵BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，
∴∠ABE= $\frac{1}{2}$∠ABF，∠CDE= $\frac{1}{2}$∠CDF.
∴∠ABE + ∠CDE = $\frac{1}{2}$(∠ABF + ∠CDF) = $\frac{1}{2}$×120°=60°.
过点E作EH//AB，则∠BEH=∠ABE.
∵AB//CD，
∴EH//CD，
∴∠DEH=∠CDE.
∴∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE=60°，
即∠BED=60°.

6. 直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF. 尝试探究并解答：
（1）若图①中∠1 = 36°，∠2 = 60°，则∠3 = ________；
（2）探究图①中∠1，∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，∠1与∠3的平分线交于点P1，若∠2 = α，试求∠EP1F的度数.（用含α的代数式表示）

答案：

(1)24°
(2)解：∠2=∠1+∠3. 理由如下：
如答图，过点P作PM//AB.
　　　　　　
∵AB//CD，AB//PM，
∴AB//PM//CD，
∴∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，
∴∠2=∠1+∠3.
(3)解：由
(2)得∠2=∠1+∠3，
同理可得∠EP₁F=∠BEP₁+∠DFP₁.
∵∠1与∠3的平分线交于点P₁，
∴∠BEP₁= $\frac{1}{2}$∠1，∠DFP₁= $\frac{1}{2}$∠3，
∴∠EP₁F= $\frac{1}{2}$(∠1+∠3)= $\frac{1}{2}$∠2.
∵∠2=α，
∴∠EP₁F= $\frac{1}{2}$α.

7.（2023·秦淮区期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题.
（1）如图①，AB//CD，点E为AB，CD之间的一点. 求证：∠1 + ∠MEN + ∠2 = 360°；
（2）如图②，AB//CD，点E，F，G，H为AB，CD之间的四点，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = ________°；
（3）如图③，AB//CD，则∠1 + ∠2 + ∠3 + … + ∠n = ________°.

答案：

(1)证明：如答图①，过点E作EF//CD.
　　　　　　　　
∵AB//CD，
∴AB//EF//CD，
∴∠1+∠MEF=180°，∠2+∠NEF=180°，
∴∠1+∠MEF+∠NEF+∠2=360°，
即∠1+∠MEN+∠2=360°.
(2)900 点拨：如答图②，过点E作EQ//CD，过点F作FW//CD，过点G作GR//CD，过点H作HY//CD，
　　　　　　
∵CD//AB，
∴EQ//FW//GR//HY//AB//CD，
∴∠1+∠MEQ=180°，∠QEF+∠EFW=180°，
∠WFG + ∠FGR = 180°，∠RGH + ∠GHY = 180°，
∠YHN+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°.
(3)180(n - 1)