《2025年阳光同学课时优化作业六年级数学下册冀教版》

1. 数学家阿基米德生前最后的一句话：“不要踩坏我的圆！”他的墓碑上面也正是遵照他生前的遗愿，刻上了一个“圆柱容球”的几何图形（如图）。图中球的四面紧贴圆柱内壁，此时圆柱与内接球的体积比和表面积比都是3：2。
(1)请根据以上信息写出球的表面积公式和体积公式。（用含有字母π和r的式子表示）
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(2)若球的表面积是50.24平方厘米，则圆柱的高是( )厘米。

答案：
(1)表面积:
$S=(2\pi r^{2}+2\pi r\times 2r)\times\frac{2}{3}=4\pi r^{2}$
体积:$V=\pi r^{2}\times 2r\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$
(2)4

2.（数学文化）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的$\frac{1}{4}$），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺。问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，π取3。则堆放的米约为多少斛？如果将这些米放进底面积为12平方尺的圆柱形容器内，那么米高约为几尺？（得数都保留整数）

答案： $\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}\times 3\times(4\times 8\div 2\div 3)^{2}\times 5\approx 36$(立方尺)
$36\div 1.62\approx 22$(斛) $36\div 12 = 3$(尺)

3.（学科融合）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的科学实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。
实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来
准备材料：一个圆柱形玻璃杯（半径5厘米），1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些水和盐
实验过程：
①往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米。
②放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米。
③放入1个鸭蛋，再测量水面高度
观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图1所示。水面高度变化情况和三种物体体积情况如图2、图3所示


请根据实验所得数据，解答问题。
(1)鸡蛋的体积是多少立方厘米？
(2)放入鸭蛋后水面上升了多少厘米？

答案：
(1)$3.14\times 5^{2}\times(9 - 8.4)=47.1$(立方厘米)
(2)$47.1\div 6\%\times(1 - 6\% - 84\%) = 78.5$(立方厘米)
$78.5\div(3.14\times 5^{2}) = 1$(厘米)