《2025年学习与评价八年级数学下册江苏凤凰教育出版社》

例1 如图9−27，在△ABC中，∠BAC = 120°，以BC为边向外作等边三角形BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°得到△ECD. 已知AB = 3，AC = 2，求∠BAD的度数和AD的长.
分析 先判断点A、C、E在一条直线上，再由∠ADE = ∠BDC = 60°，且AD = DE，得到△ADE是等边三角形，从而求出∠BAD的度数和AD的长.
说明 本题要对点A、C、E在一条直线上进行说明，不能把它直接当成条件用.
　　　　　　　　 　　　　　　　　

答案： 解
∵ △BCD是等边三角形，

∴ ∠CBD = ∠BCD = 60°.
又
∵ △ECD是由△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°得到的，

∴ ∠ECD = ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = ∠ABC + 60°，且AB = CE.
又
∵ ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 120° - ∠ABC = 60° - ∠ABC，

∴ ∠ECD + ∠ACD = ∠ECD + ∠ACB + ∠BCD = (∠ABC + 60°) + (60° - ∠ABC) + 60° = 180°.

∴ 点A、C、E在一条直线上.
又
∵ ∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = ∠ADC + ∠BDA = 60°，且AD = DE，

∴ △ADE是等边三角形.

∴ AD = AE = AC + CE = AC + AB = 5，∠BAD = ∠CED = 60°.

例2 如图9−28，在△ABC中，P、M、Q分别是AB、BC、CA的中点.

(1) 求证：四边形APMQ是平行四边形.
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形APMQ为菱形?证明你的结论.
分析 由中位线的性质得到四边形APMQ是平行四边形，只要MQ = MP，▱APMQ就是菱形.
说明 本题与中点有关的条件较多，可考虑利用三角形中位线的性质.

答案： 证明
(1)
∵ P、M分别是AB、BC的中点，

∴ PM // AC，PM = $\frac{1}{2}$AC.
同理QM // AB，QM = $\frac{1}{2}$AB.

∴ 四边形APMQ是平行四边形.

(2) 当AB = AC时，四边形APMQ为菱形.

∵ 四边形APMQ是平行四边形，
又
∵ PM = $\frac{1}{2}$AC，QM = $\frac{1}{2}$AB，AB = AC，

∴ PM = MQ.

∴ 四边形APMQ是菱形.