《2025年学习与评价八年级数学下册江苏凤凰教育出版社》

如图9 - 24，在一座山的A、B两点之间修建一条直的隧道，事先需进行工程预算，为此要测出AB的长. 在AB的一侧取一点C，连接AC、BC，分别取AC、BC的中点D、E，测出DE的长就可得到AB的长. 你能说出其中的道理吗？

答案：

例1 如图9 - 25，在△ABC中，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AD = $\frac{1}{2}AB$，连接DF、EF、AE.
求证：四边形AEFD是平行四边形.
分析 由于题目中给出了“E、F分别是BC、AC的中点”，不难联想到三角形的中位线，因此可以考虑利用三角形中位线的有关性质解决问题.
说明 在遇到有关中点的问题时，一般要考虑利用中位线的性质解题.

答案： 证明
∵ E、F分别是BC、AC的中点，

∴ EF是△ABC的中位线.

∴ EF//AB，且EF = $\frac{1}{2}AB$.
又
∵ AD = $\frac{1}{2}AB$，

∴ AD = EF，且EF//AD.

∴ 四边形AEFD是平行四边形.

例2 如图9 - 26，在四边形ABCD中，E是线段AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形.
（2）连接EF，若EF⊥BC，且EF = $\frac{1}{2}BC$，求证：四边形EGFH是正方形.
分析 （1）欲证四边形EGFH是平行四边形，可根据三角形的中位线性质，得GF//EH，且GF = EH即可；
（2）要证明平行四边形是正方形，只要证其邻边相等且有一个直角，或两条对角线垂直且相等，而本题中有线段垂直的条件，故可考虑两条对角线垂直且相等.
说明 中位线的性质常用来解决线段平行和相等的问题.

答案： 证明 （1）在△BEC中，

∵ G、F分别是BE、BC的中点，

∴ GF//EC且GF = $\frac{1}{2}EC$.
又
∵ H是EC的中点，

∴ EH = $\frac{1}{2}EC$.

∴ GF//EH且GF = EH.

∴ 四边形EGFH是平行四边形.
（2）连接GH.

∵ G、H分别是BE、EC的中点，

∴ GH//BC且GH = $\frac{1}{2}BC$.
又
∵ EF = $\frac{1}{2}BC$，

∴ GH = EF.

∴ ▱EGFH是矩形.
又
∵ EF⊥BC，

∴ EF⊥GH.

∴ 矩形EGFH是正方形.