《2025年学习与评价八年级数学下册江苏凤凰教育出版社》

例1 把下列函数的表达式与其图像(图11 - 6)对应起来：
(1)$y=\frac{2}{x}$； (2)$y=\frac{2}{|x|}$； (3)$y=-\frac{2}{x}$； (4)$y=-\frac{2}{|x|}$.

答案： 解
(1)$y=\frac{2}{x}$的图像是B，
(2)$y=\frac{2}{|x|}$的图像是A，
(3)$y=-\frac{2}{x}$的图像是C，
(4)$y=-\frac{2}{|x|}$的图像是D.

例2 已知点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{1 - 2m}{x}$的图像上，当$x_1＜0＜x_2$时，有$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是( ).
A．$m＜0$ B．$m＞0$ C．$m＞\frac{1}{2}$ D．$m＜\frac{1}{2}$

答案： 解 根据函数的性质可知$1 - 2m＞0$，所以选择D.
说明 解答反比例函数$y$与$x$的变化关系时，借助图像或函数的性质是常用的方法，注意性质中“在每一个象限”这个条件不能少.

例3 如图11 - 7，正比例函数$y = k_1x$的图像与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图像相交于点$A$，从点$A$向$x$轴、$y$轴分别作垂线，垂足分别为$C$、$B$，所构成的正方形$ABOC$的面积为4.

(1)分别求正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)求正、反比例函数图像的交点$D$的坐标；
(3)求$\triangle ODC$的面积.
说明 此题图中正方形$ABOC$的面积为$|k|$，在反比例函数题中用得比较多.

答案： 解
(1)由正方形面积可以知道反比例函数的表达式是$y=\frac{4}{x}$，且$A(2,2)$，正比例函数的表达式是$y = x$.

(2)由方程组$\begin{cases}y = x,\\y=\frac{4}{x},\end{cases}$得$\begin{cases}x_1 = 2,\\y_1 = 2,\end{cases}$ $\begin{cases}x_2=-2,\\y_2=-2.\end{cases}$所以
另一个交点$D$的坐标为$(-2,-2)$.也可以根据点$A$与点$D$关于点$O$成中心对称求出点$D$的坐标.

(3)根据$\triangle ODC$和$\triangle OAC$为同底等高的三角形，所以它们的面积相等，而$\triangle OAC$的面积为2，所以$\triangle ODC$的面积也为2.