《2025年顶尖课课练九年级数学下册华师大版》

10. 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $P$，已知点 $A(-1,0)$、点 $P(0,-p)$.
（1）当 $a = 2p$ 时，求点 $B$ 的坐标；
（2）直线 $y = x + m$ 与抛物线交于 $P$、$N$ 两点，抛物线的对称轴为直线 $x = 1$，且 $OA\leqslant OP\leqslant OB$.
① 求 $p$、$a$ 所满足的数量关系式；
② 求线段 $PN$ 长度的取值范围.

答案： （1）$(\frac{1}{2},0)$ （2）①$p = 3a$ ②$0 ＜ PN\leqslant\sqrt{2}$或$3\sqrt{2}\leqslant PN\leqslant5\sqrt{2}$