《2025年顶尖课课练九年级数学下册华师大版》

4. 如图 26.3.4-3，抛物线 $y = ax^{2}+bx + c$（$a＞0$）经过原点 $O$，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$，顶点为 $B$. 若 $\triangle AOB$ 为等边三角形，则 $b$ 的值为（ ）.


A. $-\sqrt{3}$
B. $-2\sqrt{3}$
C. $-3\sqrt{3}$
D. $-4\sqrt{3}$

答案： B

5. 已知抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 经过点 $(1,-4)$ 和 $(-2,5)$，
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图 26.3.4-4，若抛物线与 $x$ 轴的两个交点为 $A$、$B$，与 $y$ 轴交于点 $C$，则在该抛物线上是否存在点 $D$，使得 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 全等？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： $y = x^{2}-2x - 3$@@存在，点D的坐标为(2, -3)

6. 如图 26.3.4-5，$A$、$B$ 为一次函数 $y = -x + 5$ 的图象与二次函数 $y = x^{2}+bx + c$ 的图象的公共点，点 $A$、$B$ 的横坐标分别为 $0$、$4$. $P$ 为二次函数 $y = x^{2}+bx + c$ 的图象上的动点，且位于直线 $AB$ 的下方，连结 $PA$、$PB$.
(1) 求 $b$、$c$ 的值；
(2) 求 $\triangle PAB$ 的面积的最大值.

答案： $b = -5$，$c = 5$@@8

7. 如图 26.3.4-6，抛物线 $y = ax^{2}+bx - 3a$（$a＞0$）与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$、$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1) 求点 $B$ 的坐标；
(2) 点 $P(m,n)$ 是第四象限内抛物线上的一个动点.
① 若 $\angle APB = 90^{\circ}$，且 $a＜3$，求点 $P$ 的纵坐标的取值范围；
② 直线 $PA$、$PB$ 分别交 $y$ 轴于点 $M$、$N$，求证：$\frac{CM}{CN}$ 为定值.

答案： (3, 0)@@$-2\leq n ＜ -\frac{1}{3}$@@定值为$\frac{1}{3}$，证明略