《2025年顶尖课课练九年级数学下册华师大版》

5. 【任务驱动】2024 年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于 4 月 19 日至 21 日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以 $8$ 金 $1$ 银总奖牌 $9$ 枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情. 数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查.
【研究步骤】如图 26.3.3-2，某跳水运动员在 $10\ \text{m}$ 跳台上进行跳水训练，水面与 $y$ 轴交于点 $E(0,-10)$，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点 $O$ 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点 $A$ 的坐标为 $(\frac{3}{4},\frac{9}{16})$.
正常情况下，运动员在距水面高度 $5\ \text{m}$ 之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线.
【问题解决】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务.
(1) 求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处 $B$ 的坐标；
(2) 若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与 $y$ 轴的水平距离为 $3\ \text{m}$，问：该运动员此次跳水会不会失误？请说明理由.
(3) 在该运动员入水处点 $B$ 的正前方有 $M$、$N$ 两点，且 $EM = 6$，$EN = 8$，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为 $y=(x - h)^{2}+k$. 若该运动员出水处点 $D$ 在 $MN$ 之间（包括 $M$、$N$ 两点），请求出 $k$ 的取值范围.

答案： $y = -x^{2}+\frac{3}{2}x$，$B(4, -10)$@@不会失误，理由略@@$-14\leq k\leq -11$