《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册人教版南通专版》

1. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5\\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，求关于$a$，$b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5\\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$的解.

答案：
∵ 关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3x - my = 5 \\ 2x + ny = 6 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $，
∴ 关于 $ a,b $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3(a + b) - m(a - b) = 5 \\ 2(a + b) + n(a - b) = 6 \end{cases} $ 满足 $ \begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = 2 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = \frac{3}{2} \\ b = -\frac{1}{2} \end{cases} $。
∴ 关于 $ a,b $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3(a + b) - m(a - b) = 5 \\ 2(a + b) + n(a - b) = 6 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} a = \frac{3}{2} \\ b = -\frac{1}{2} \end{cases} $

2. 两名同学对问题“若方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$，求方程组$\begin{cases}3a_{1}x + 2b_{1}y = 5c_{1}\\3a_{2}x + 2b_{2}y = 5c_{2}\end{cases}$的解”提出各自的想法. 甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解.”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试.”参考他们的讨论，谈谈你的看法(若不能求解，请说明原因；若能够求解，请写出求解过程).

答案： $ \begin{cases} 3a_1x + 2b_1y = 5c_1 \\ 3a_2x + 2b_2y = 5c_2 \end{cases} $ 可变形为 $ \begin{cases} \frac{3}{5}a_1x + \frac{2}{5}b_1y = c_1 \\ \frac{3}{5}a_2x + \frac{2}{5}b_2y = c_2 \end{cases} $ ①，设 $ m = \frac{3}{5}x,n = \frac{2}{5}y $，
∴ 方程组①可变为 $ \begin{cases} a_1m + b_1n = c_1 \\ a_2m + b_2n = c_2 \end{cases} $ ②。又
∵ $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases} $，
∴ 方程组 ② 的解是 $ \begin{cases} m = 3 \\ n = 4 \end{cases} $。
∴ $ 3 = \frac{3}{5}x,4 = \frac{2}{5}y $。
∴ $ x = 5,y = 10 $。故方程组 $ \begin{cases} 3a_1x + 2b_1y = 5c_1 \\ 3a_2x + 2b_2y = 5c_2 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 5 \\ y = 10 \end{cases} $

3. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}4x - y = 13\\ax + y = b\end{cases}$和方程组$\begin{cases}x + by = a\\3x - y = 10\end{cases}$有相同的解，则$a$，$b$的值分别为（ ）
A. 1，2
B. 4，-6
C. -6，2
D. 14，2

答案： A

4. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - y = 2a + 1\\2x + 3y = 9a - 8\end{cases}$，其中$a$是实数.
（1）解这个方程组(用含$a$的式子表示$x$，$y$)；
（2）若方程组的解也是方程$x - 5y = 3$的一个解，求$(a - 4)^{2025}$的值.

答案：
(1) 令 $ \begin{cases} x - y = 2a + 1 ① \\ 2x + 3y = 9a - 8 ② \end{cases} $，由①×3 + ②，得 $ 5x = 15a - 5 $，解得 $ x = 3a - 1 $；把 $ x = 3a - 1 $ 代入①，得 $ y = a - 2 $。
∴ 方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3a - 1 \\ y = a - 2 \end{cases} $
(2) 把 $ \begin{cases} x = 3a - 1 \\ y = a - 2 \end{cases} $ 代入方程 $ x - 5y = 3 $，得 $ 3a - 1 - 5a + 10 = 3 $，解得 $ a = 3 $。
∴ $ (a - 4)^{2025} = -1 $