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10.(2024·泸州)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，则函数$y = kx$与函数$y = \frac{2}{x}$的图象交点个数为 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：
A
11.(2024·齐齐哈尔)如图，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图象经过平行四边形$ABCO$的顶点$A$，$OC$在$x$轴上，若点$B(-1,3)$，$S_{\square ABCO} = 3$，则实数$k$的值为_______.
答案：
-6
12.(河南中考改编)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点$O$重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象与大正方形的一边交于点$A(1,2)$，且经过小正方形的顶点$B$.则图中阴影部分的面积为_____.
答案：
8
13.(河南中考)如图，一次函数$y = -x + b$与反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点$A(m,3)$和$B(3,1)$.
(1)填空：
①一次函数的解析式为____________；
②反比例函数的解析式为____________；
(2)点$P$是线段$AB$上一点，过点$P$作$PD \perp x$轴于点$D$，连接$OP$.若$\triangle POD$的面积为$S$，求$S$的取值范围.
(1)填空：
①一次函数的解析式为____________；
②反比例函数的解析式为____________；
(2)点$P$是线段$AB$上一点，过点$P$作$PD \perp x$轴于点$D$，连接$OP$.若$\triangle POD$的面积为$S$，求$S$的取值范围.
答案：
$y = -x + 4$@@$y = \frac{3}{x}$@@
(2)
∵点$A(m,3)$在$y = \frac{3}{x}$的图象上，
∴$\frac{3}{m}=3$，
∴$m = 1$，
∴$A(1,3)$。而点$P$在线段$AB$上，设点$P(n,-n + 4)$，则$1\leqslant n\leqslant3$，
∴$S = \frac{1}{2}OD\cdot PD=\frac{1}{2}\times n(-n + 4)=-\frac{1}{2}(n - 2)^2 + 2$。
∵$-\frac{1}{2}\lt0$，且$1\leqslant n\leqslant3$，
∴当$n = 2$时，$S_{最大}=2$；当$n = 1$或3时，$S_{最小}=\frac{3}{2}$，
∴$S$的取值范围是$\frac{3}{2}\leqslant S\leqslant2$
(2)
∵点$A(m,3)$在$y = \frac{3}{x}$的图象上，
∴$\frac{3}{m}=3$，
∴$m = 1$，
∴$A(1,3)$。而点$P$在线段$AB$上，设点$P(n,-n + 4)$，则$1\leqslant n\leqslant3$，
∴$S = \frac{1}{2}OD\cdot PD=\frac{1}{2}\times n(-n + 4)=-\frac{1}{2}(n - 2)^2 + 2$。
∵$-\frac{1}{2}\lt0$，且$1\leqslant n\leqslant3$，
∴当$n = 2$时，$S_{最大}=2$；当$n = 1$或3时，$S_{最小}=\frac{3}{2}$，
∴$S$的取值范围是$\frac{3}{2}\leqslant S\leqslant2$
14.(2024·雅安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象$l$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于$M(\frac{1}{2},4),N(n,1)$两点.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)求$\triangle OMN$的面积；
(3)若点$P$是$y$轴上一动点，连接$PM,PN$.当$PM + PN$的值最小时，求点$P$的坐标.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)求$\triangle OMN$的面积；
(3)若点$P$是$y$轴上一动点，连接$PM,PN$.当$PM + PN$的值最小时，求点$P$的坐标.
答案：
(1)
∵$M(\frac{1}{2},4)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = \frac{1}{2}\times4 = 2$，
∴反比例函数解析式为$y = \frac{2}{x}$。又
∵$N(n,1)$在反比例函数$y = \frac{2}{x}$上，
∴$n = 2$，
∴$N(2,1)$。设一次函数解析式为$y = ax + b$，
∴$\begin{cases}\frac{1}{2}a + b = 4\\2a + b = 1\end{cases}$，
∴$\begin{cases}a = -2\\b = 5\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y = -2x + 5$
(2)如图，设直线$l$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，
∵直线$l$为$y = -2x + 5$，
∴$A(\frac{5}{2},0)$，$B(0,5)$，
∴$OA = \frac{5}{2}$，$OB = 5$，
∴$S_{\triangle{OMN}} = S_{\triangle{AOB}} - S_{\triangle{AON}} - S_{\triangle{BOM}}=\frac{1}{2}AO\cdot BO - \frac{1}{2}AO\cdot y_N - \frac{1}{2}BO\times x_M=\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times5 - \frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times1 - \frac{1}{2}\times5\times\frac{1}{2}=\frac{15}{4}$
(3)如图，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，连接$M'N$交$y$轴于点$P$，则$PM + PN$的最小值等于$M'N$的长。
∵$M(\frac{1}{2},4)$与$M'$关于$y$轴对称，
∴$M'(-\frac{1}{2},4)$。又$N(2,1)$，
∴直线$M'N$为$y = -\frac{6}{5}x + \frac{17}{5}$。令$x = 0$，则$y = \frac{17}{5}$，
∴$P(0,\frac{17}{5})$
(1)
∵$M(\frac{1}{2},4)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = \frac{1}{2}\times4 = 2$，
∴反比例函数解析式为$y = \frac{2}{x}$。又
∵$N(n,1)$在反比例函数$y = \frac{2}{x}$上，
∴$n = 2$，
∴$N(2,1)$。设一次函数解析式为$y = ax + b$，
∴$\begin{cases}\frac{1}{2}a + b = 4\\2a + b = 1\end{cases}$，
∴$\begin{cases}a = -2\\b = 5\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y = -2x + 5$
(2)如图，设直线$l$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，
∵直线$l$为$y = -2x + 5$，
∴$A(\frac{5}{2},0)$，$B(0,5)$，
∴$OA = \frac{5}{2}$，$OB = 5$，
∴$S_{\triangle{OMN}} = S_{\triangle{AOB}} - S_{\triangle{AON}} - S_{\triangle{BOM}}=\frac{1}{2}AO\cdot BO - \frac{1}{2}AO\cdot y_N - \frac{1}{2}BO\times x_M=\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times5 - \frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times1 - \frac{1}{2}\times5\times\frac{1}{2}=\frac{15}{4}$
(3)如图，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，连接$M'N$交$y$轴于点$P$，则$PM + PN$的最小值等于$M'N$的长。
∵$M(\frac{1}{2},4)$与$M'$关于$y$轴对称，
∴$M'(-\frac{1}{2},4)$。又$N(2,1)$，
∴直线$M'N$为$y = -\frac{6}{5}x + \frac{17}{5}$。令$x = 0$，则$y = \frac{17}{5}$，
∴$P(0,\frac{17}{5})$
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