《2025年原创新课堂九年级数学下册人教版》

7.（2024·盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 ______ m.（精确到1 m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

答案： 17

8.（2024·临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍嵯峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE = 1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB.（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

答案： 过E作$EF\perp AB$于F，设$FG = x$ m，在$Rt\triangle AEF$中，$\because\angle AEF = 37^{\circ}$，$\therefore\tan37^{\circ}=\frac{AF}{EF}$，$\therefore AF = EF\cdot\tan37^{\circ}\approx0.75(x + 14.5)=(0.75x + 10.875)$ m，在$Rt\triangle AGF$中，$\because\angle AGF = 45^{\circ}$，$\therefore\tan45^{\circ}=\frac{AF}{GF}$，$\therefore AF = GF = x$ m，$\therefore 0.75x + 10.875 = x$，$\therefore x = 43.5$，$\therefore AB = AF + BF = 43.5 + 1.6\approx45$（m）答：乾元塔的高度AB约为45 m

9.（2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角.
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB；
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m.求塑像AB的高（结果精确到0.1 m.参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）.

答案：
（1）如图，设AD与圆交于M，连接BM.则$\angle AMB=\angle APB$.$\because\angle AMB＞\angle ADB$，$\therefore\angle APB＞\angle ADB$ （2）$\because\angle APH = 60^{\circ}$，$PH = 6$ m，在$Rt\triangle AHP$中，$\tan\angle APH=\frac{AH}{PH}$，$\therefore AH = PH\cdot\tan60^{\circ}=6\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}$（m），$\because\angle APB = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BPH=\angle APH-\angle APB = 60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$，$\because\tan\angle BPH=\frac{BH}{PH}$，$\therefore BH = PH\cdot\tan30^{\circ}=6\times\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$（m），$\therefore AB = AH - BH = 6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx4\times1.73\approx6.9$（m），答：塑像AB的高约为6.9 m