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11.（齐齐哈尔中考）在$\triangle ABC$中，$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$\angle B = 45^{\circ}$，则$BC =$________________.
答案：
$3\sqrt{3}+3$或$3\sqrt{3}-3$
12. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$，求$AB$的长.
答案：
过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，$\therefore\angle ADC=\angle BDC = 90^{\circ}$，
因为$\angle B = 45^{\circ}$，$\therefore\angle BCD=\angle B = 45^{\circ}$，$\therefore CD = BD$，因为$\angle A = 30^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}$，$\therefore CD=\sqrt{3}$，$\therefore BD = CD=\sqrt{3}$，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}} = 3$，$\therefore AB=AD + BD=3+\sqrt{3}$
13.（2024·浙江）如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$AE$是$BC$边上的中线，$AB = 10$，$AD = 6$，$\tan\angle ACB = 1$.
（1）求$BC$的长；
（2）求$\sin\angle DAE$的值.
（1）求$BC$的长；
（2）求$\sin\angle DAE$的值.
答案：
(1) 因为$AD\perp BC$，$AB = 10$，$AD = 6$，$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$；因为$\tan\angle ACB = 1$，$\therefore CD = AD = 6$，$\therefore BC=BD + CD=8 + 6 = 14$
(2) 因为$AE$是$BC$边上的中线，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC = 7$，$\therefore DE=CE - CD=7 - 6 = 1$，因为$AD\perp BC$，$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$，$\therefore\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$
(1) 因为$AD\perp BC$，$AB = 10$，$AD = 6$，$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$；因为$\tan\angle ACB = 1$，$\therefore CD = AD = 6$，$\therefore BC=BD + CD=8 + 6 = 14$
(2) 因为$AE$是$BC$边上的中线，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC = 7$，$\therefore DE=CE - CD=7 - 6 = 1$，因为$AD\perp BC$，$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$，$\therefore\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$
14. 知识再现：如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.
$\because\sin A = \frac{a}{c}$，$\sin B = \frac{b}{c}$，$\therefore c = \frac{a}{\sin A}$，$c = \frac{b}{\sin B}$.
$\therefore\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
（1）拓展探究：如图2，在锐角三角形$ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.请探究$\frac{a}{\sin A}$，$\frac{b}{\sin B}$，$\frac{c}{\sin C}$之间的关系，并写出探究过程；
（2）解决问题：如图3，为测量点$A$到河对岸点$B$的距离，选取与点$A$在河岸同一侧的点$C$，测得$AC = 60$m，$\angle A = 75^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$.请用探究探究中的结论，求点$A$到点$B$的距离.
$\because\sin A = \frac{a}{c}$，$\sin B = \frac{b}{c}$，$\therefore c = \frac{a}{\sin A}$，$c = \frac{b}{\sin B}$.
$\therefore\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
（1）拓展探究：如图2，在锐角三角形$ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.请探究$\frac{a}{\sin A}$，$\frac{b}{\sin B}$，$\frac{c}{\sin C}$之间的关系，并写出探究过程；
（2）解决问题：如图3，为测量点$A$到河对岸点$B$的距离，选取与点$A$在河岸同一侧的点$C$，测得$AC = 60$m，$\angle A = 75^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$.请用探究探究中的结论，求点$A$到点$B$的距离.
答案：
(1) 如图，作$CD\perp AB$于点$D$，$AE\perp BC$于点$E$，在$Rt\triangle ABE$中，$\sin B=\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{c}$，同理：$\sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{a}$，$\sin\angle BAC=\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{b}$，$\sin\angle BCA=\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{b}$，$\therefore AE = c\sin B$，$AE = b\sin\angle BCA$，$CD = a\sin B$，$CD = b\sin\angle BAC$，$\therefore\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin\angle BCA}$，$\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}$，$\therefore\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin\angle BCA}$
(2) 在$\triangle ABC$中，$\angle CBA=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$，因为$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin\angle CBA}$，$\therefore\frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{60}{\sin45^{\circ}}$，$\therefore AB = 30\sqrt{6}$，$\therefore$点$A$到点$B$的距离为$30\sqrt{6}\text{ m}$
（注：文档中实际图片编号需根据实际情况确定，这里假设为1）
(1) 如图，作$CD\perp AB$于点$D$，$AE\perp BC$于点$E$，在$Rt\triangle ABE$中，$\sin B=\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{c}$，同理：$\sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{a}$，$\sin\angle BAC=\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{b}$，$\sin\angle BCA=\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{b}$，$\therefore AE = c\sin B$，$AE = b\sin\angle BCA$，$CD = a\sin B$，$CD = b\sin\angle BAC$，$\therefore\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin\angle BCA}$，$\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}$，$\therefore\frac{a}{\sin\angle BAC}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin\angle BCA}$
(2) 在$\triangle ABC$中，$\angle CBA=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$，因为$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin\angle CBA}$，$\therefore\frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{60}{\sin45^{\circ}}$，$\therefore AB = 30\sqrt{6}$，$\therefore$点$A$到点$B$的距离为$30\sqrt{6}\text{ m}$
（注：文档中实际图片编号需根据实际情况确定，这里假设为1） 查看更多完整答案，请扫码查看
