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13.已知$\alpha$，$\beta$均为锐角，且满足$\vert\sin\alpha - \frac{1}{2}\vert + \sqrt{(\tan\beta - 1)^{2}} = 0$，则$\alpha + \beta =$______。
答案：
$75^{\circ}$
14.在$\triangle ABC$中，$\sin B = \cos(90^{\circ}-C)=\frac{1}{2}$，那么$\triangle ABC$是____________
答案：
等腰三角形
15.先化简，再求值：$1 - \frac{a + b}{a - 2b} \div \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-2ab + b^{2}}$，其中$a = \sin45^{\circ}+2$，$b = \tan45^{\circ}$。
答案：
原式 = $1 - \frac{a + b}{a - 2b} \div \frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^2} = 1 - \frac{a + b}{a - 2b} \cdot \frac{a - b}{a + b} = 1 - \frac{a - b}{a - 2b} = \frac{-b}{a - 2b}$。因为$a = \sin45^{\circ} + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$，$b = \tan45^{\circ} = 1$，所以原式 = $\frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 - 2\times1} = -\sqrt{2}$。
16.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$AC$上，已知$\angle BDC = 45^{\circ}$，$BD = 10\sqrt{2}$，$AB = 20$。求$\angle A$的度数。
答案：
因为在$Rt\triangle BDC$中，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$BD = 10\sqrt{2}$，所以$BC = BD \cdot \sin\angle BDC = 10\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 20$，所以$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，所以$\angle A = 30^{\circ}$。
17.（2024·驻马店泌阳县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
$\sin\alpha = \frac{BC}{AC}$，$\cos\alpha = \frac{AB}{AC}$，$\tan\alpha = \frac{BC}{AB}$
一般地，当$\alpha$、$\beta$为任意角时，$\sin(\alpha + \beta)$与$\sin(\alpha - \beta)$的值可以用下面的公式求得：
$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
例如：$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cdot\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：$\sin75^{\circ}=$______；
（2）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 75^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 4$，请你求出$AC$和$BC$的长。
$\sin\alpha = \frac{BC}{AC}$，$\cos\alpha = \frac{AB}{AC}$，$\tan\alpha = \frac{BC}{AB}$
一般地，当$\alpha$、$\beta$为任意角时，$\sin(\alpha + \beta)$与$\sin(\alpha - \beta)$的值可以用下面的公式求得：
$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
例如：$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cdot\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：$\sin75^{\circ}=$______；
（2）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 75^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 4$，请你求出$AC$和$BC$的长。
答案：
$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$@@
- （2）在$Rt\triangle ABC$中，因为$\sin\angle A = \sin75^{\circ} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$，所以$BC = AB \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = 4 \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \sqrt{2} + \sqrt{6}$，因为$\angle B = 90 - \angle A$，所以$\angle B = 15^{\circ}$，因为$\sin\angle B = \sin15^{\circ} = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，所以$AC = AB \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$。
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