《2025年原创新课堂九年级数学下册人教版》

11.（枣庄中考）如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC = 2，则 tanD = ________.

答案： $2\sqrt{2}$

12.（贵港中考）如图，在 4×4 的网格正方形中，每个小正方形的边长为 1，顶点为格点，若△ABC 的顶点均是格点，则 cos∠BAC 的值是________.

答案： $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

13. 如图，△ABC 中，AB = AC，∠A = 45°，AC 的垂直平分线分别交 AB，AC 于 D，E 两点，连接 CD.如果 AD = 1，那么 tan∠BCD = ________.

答案： $\sqrt{2}-1$

14. 如图，AD 是△ABC 的中线，tanB = $\frac{1}{3}$，cosC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC = $\sqrt{2}$.求：（1）BC 的长；（2）sin∠ADC 的值.

答案： （1）过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，
∵$\cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$，
∴$CE = AC\cdot\cos C = 1$，
∴$AE=\sqrt{AC^{2}-CE^{2}} = 1$，在Rt△ABE中，$\tan B=\frac{1}{3}$，即$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴$BE = 3AE = 3$，
∴$BC = BE + CE = 4$ （2）
∵AD是△ABC的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}BC = 2$，
∴$DE = CD - CE = 1$，在Rt△ADE中，
∴$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2}$，
∴$\sin\angle ADC=\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

15. 如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 上的点 F 处，如果 $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{2}{3}$，求 tan∠DCF 的值.

答案：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB = CD$，∠D = 90°.
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，且由折叠知$CF = BC$，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{2}{3}$. 设$CD = 2x$，$CF = 3x$（$x＞0$），
∴$DF=\sqrt{CF^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5}x$，
∴$\tan\angle DCF=\frac{DF}{CD}=\frac{\sqrt{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

16. 如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作 ctanα，即 ctanα = $\frac{角α的邻边}{角α的对边}$ = $\frac{AC}{BC}$，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30° = ________；
（2）如图，已知 tanA = $\frac{3}{4}$，其中∠A 为锐角，试求 ctanA 的值.

答案： $\sqrt{3}$@@
∵$\tan A=\frac{3}{4}$，
∴设$BC = 3x$，$AC = 4x$，
∴$c\tan A=\frac{AC}{BC}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$