《2025年原创新课堂九年级数学下册人教版》

5. (2024·盐城)如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作 AD⊥l，垂足为 D，连接 AC，BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若 AC = 5，CD = 4，求⊙O 的半径.

答案：
(1) 连接OC，因为l是⊙O的切线，所以OC⊥l，因为AD⊥l，所以OC//AD，所以∠CAD = ∠ACO = ∠CAB，因为∠D = ∠ACB = 90°，所以△ABC∽△ACD。
(2) 因为AC = 5，CD = 4，∠ADC = 90°，所以$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}} = 3$，因为△ABC∽△ACD，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，所以$\frac{AB}{5}=\frac{5}{3}$，所以$AB=\frac{25}{3}$，所以⊙O的半径为$\frac{25}{6}$。

6. (2024·安阳月考)如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，且 AC 平分∠BAD，过点 C 作直线 EF⊥AD，交 AD 的延长线于点 E.
(1)试说明：EF 是⊙O 的切线；
(2)若 AE = $\frac{16}{5}$，⊙O 的半径是 $\frac{5}{2}$，求 AC 的长.

答案：
(1) 连接OC，因为EF⊥AD，所以∠AEC = 90°，因为AC平分∠BAD，所以∠EAC = ∠CAB，因为OA = OC，所以∠CAB = ∠ACO，所以∠EAC = ∠ACO，所以AE//OC，所以∠AEC = ∠OCF = 90°，因为OC是⊙O的半径，所以EF是⊙O的切线。
(2) 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB = 90°，因为∠ACB = ∠AEC = 90°，∠EAC = ∠CAB，所以△AEC∽△ACB，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AB}$，所以$AC^{2}=AE·AB$，所以$AC^{2}=\frac{16}{5}×5 = 16$，所以AC = 4。

7. (2024·无锡)如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O，$\widehat{CD}$ = $\widehat{DB}$，AB，CD 的延长线相交于点 E，且 DE = AD.
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC 的度数.

答案：
(1) 因为$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，所以∠CAD = ∠DAB，因为DE = AD，所以∠DAB = ∠E，所以∠CAD = ∠E，又因为∠C = ∠C，所以△CAD∽△CEA。
(2) 连接BC，因为AB为直径，所以∠ACB = 90°，因为△CAD∽△CEA，所以∠ADC = ∠CAE，因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，所以∠ABC = ∠ADC，所以∠CAB = ∠ABC，因为∠ACB = 90°，所以∠ABC = 45°，所以∠ADC = 45°。

8. (杭州中考)如图，锐角三角形 ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线 AG 交⊙O 于点 G，交 BC 边于点 F，连接 BG.
(1)求证：△ABG∽△AFC；
(2)已知 AB = a，AC = AF = b，求线段 FG 的长(用含 a，b 的代数式表示)；
(3)已知点 E 在线段 AF 上(不与点 A，点 F 重合)，点 D 在线段 AE 上(不与点 A，点 E 重合)，∠ABD = ∠CBE，求证：BG² = GE·GD.

答案：
(1) 因为AG平分∠BAC，所以∠BAG = ∠FAC，又因为∠G = ∠C，所以△ABG∽△AFC。
(2) 由
(1)知，△ABG∽△AFC，所以$\frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$，因为AC = AF = b，AB = AG = a，所以FG = AG - AF = a - b。
(3) 因为∠CAG = ∠CBG，∠BAG = ∠CAG，所以∠BAG = ∠CBG，因为∠ABD = ∠CBE，所以∠BAG + ∠ABD = ∠CBG + ∠CBE，即∠BDG = ∠EBG，又因为∠DGB = ∠BGE，所以△DGB∽△BGE，所以$\frac{GD}{BG}=\frac{BG}{GE}$，所以$BG^{2}=GE·GD$。