《2025年原创新课堂九年级数学下册人教版》

1. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AM$是$\odot O$的切线，$AC$，$CD$是$\odot O$的弦，且$CD\perp AB$，垂足为$E$，连接$BD$并延长，交$AM$于点$P$．
(1)求证：$\angle CAB=\angle APB$；
(2)若$\odot O$的半径$r = 5$，$AC = 8$，求线段$PD$的长.

答案：
(1) 因为 AM 是⊙O 的切线，所以∠BAM = 90°，又因为∠CEA = 90°，所以 AM//CD，所以∠CDB = ∠APB，因为∠CAB = ∠CDB，所以∠CAB = ∠APB。
(2) 连接 AD，因为 AB 是直径，所以∠CDB + ∠ADC = 90°，因为∠CAB + ∠C = 90°，且∠CDB = ∠CAB，所以∠ADC = ∠C，所以 AD = AC = 8，因为 AB = 10，所以 BD = 6，因为∠BAD + ∠DAP = 90°，∠DAP + ∠APD = 90°，所以∠APB = ∠BAD，因为∠BDA = ∠BAP，所以△ADB∽△PAB，所以$\frac{AB}{PB}=\frac{BD}{AB}$，所以$PB = \frac{AB^{2}}{BD}=\frac{50}{3}$，所以$DP=\frac{50}{3}-6=\frac{32}{3}$。

2. 如图，已知$AC$为$\odot O$的直径，直线$PA$与$\odot O$相切于点$A$，直线$PD$经过$\odot O$上的点$B$且$\angle CBD=\angle CAB$，连接$OP$交$AB$于点$M$．
求证：
(1)$PD$是$\odot O$的切线；
(2)$AM^{2}=OM\cdot PM$．

答案：
(1) 连接 OB，因为 OB = OC，所以∠OCB = ∠OBC，因为 AC 是⊙O 的直径，所以∠CBA = 90°，所以∠CAB + ∠OCB = 90°，因为∠CBD = ∠CAB，所以∠CBD + ∠OBC = 90°，所以∠OBD = 90°，所以 PD 是⊙O 的切线。
(2) 由
(1)知 PD 是⊙O 的切线，直线 PA 与⊙O 相切，所以 PO 垂直平分 AB，所以∠AMP = ∠AMO = 90°，所以∠APM + ∠PAM = 90°，因为∠OAP = 90°，所以∠PAM + ∠OAM = 90°，所以∠APM = ∠OAM，所以△OAM∽△APM，所以$\frac{AM}{PM}=\frac{OM}{AM}$，所以$AM^{2}=OM\cdot PM$。

3. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$为$BC$的中点，$AE\perp BD$于点$F$，连接$CF$．
(1)求证：$AB = CF$；
(2)若$AB = 4\sqrt{2}$，求$DF$的长.

答案：
(1) 延长 AE，DC 相交于点 H，因为 E 为 BC 的中点，所以 BE = CE，因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB//CD，AB = CD，所以∠ABE = ∠HCE，∠BAE = ∠H，所以△ABE≌△HCE(AAS)，所以 AB = CH，所以 CD = CH，因为 BD⊥AE，所以∠DFH = 90°，所以$CF = \frac{1}{2}DH = CD = AB$。
(2) 因为 BE//AD，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，所以△BEF∽△DAF，所以$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{2}$，设 BF = a，则 DF = 2a，因为∠AFB = ∠BAD = 90°，∠ABF = ∠DBA，所以△BFA∽△BAD，所以$AB^{2}=BF\cdot BD$，所以$(4\sqrt{2})^{2}=a×3a$，解得$a = \frac{4\sqrt{6}}{3}$（负值舍去），所以$DF = 2a=\frac{8\sqrt{6}}{3}$。