《2025年原创新课堂九年级数学下册人教版》

1. 定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1 = ∠2，则称点P为△ABC的“理想点”. 如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC = $\sqrt{2}$，AB = 2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由.

答案： 点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的“理想点”，理由如下：因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，$AB = 2$，所以 $AD = BD = 1$，$AD\cdot AB = 2$，因为 $AC=\sqrt{2}$，所以 $AC^{2}=2$，所以 $AC^{2}=AD\cdot AB$，则 $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，又因为 $\angle A=\angle A$，所以 $\triangle ACD\sim\triangle ABC$，所以 $\angle ACD=\angle B$，所以点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的“理想点”。

2.（2024·驻马店月考）如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC.
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AB = 5，AC = 3，求⊙O的半径.

答案：
(1) 连接 $OB$，因为 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于 $B$，所以 $OB\perp AB$，所以 $\angle ABC+\angle CBO = 90^{\circ}$，因为 $CD$ 是圆的直径，所以 $\angle CBD = 90^{\circ}$，所以 $\angle D+\angle OCB = 90^{\circ}$，因为 $OC = OB$，所以 $\angle OCB=\angle OBC$，所以 $\angle D=\angle ABC$，又因为 $\angle CAB=\angle BAD$，所以 $\triangle ABC\sim\triangle ADB$。
(2) 因为 $\triangle ABC\sim\triangle ADB$，所以 $AB:AD = AC:AB$，因为 $AB = 5$，$AC = 3$，所以 $5:AD = 3:5$，所以 $AD=\frac{25}{3}$，所以 $CD=AD - AC=\frac{16}{3}$，所以 $\odot O$ 的半径是 $\frac{1}{2}CD=\frac{8}{3}$。

3. 如图，在△ABC中，AB = AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD = ∠B.
（1）求证：AC·CD = CP·BP；
（2）若AB = 10，BC = 12，当PD//AB时，求BP的长.

答案：
(1) 因为 $AB = AC$，所以 $\angle B=\angle C$。因为 $\angle APD=\angle B$，所以 $\angle APD=\angle B=\angle C$。因为 $\angle APC=\angle BAP+\angle B$，$\angle APC=\angle APD+\angle DPC$，所以 $\angle BAP=\angle DPC$，所以 $\triangle ABP\sim\triangle PCD$，则 $\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{CP}$，所以 $AB\cdot CD = CP\cdot BP$。因为 $AB = AC$，所以 $AC\cdot CD = CP\cdot BP$。
(2) 因为 $PD// AB$，所以 $\angle APD=\angle BAP$。因为 $\angle APD=\angle C$，所以 $\angle BAP=\angle C$。因为 $\angle B=\angle B$，所以 $\triangle BAP\sim\triangle BCA$，所以 $\frac{BA}{BC}=\frac{BP}{BA}$。因为 $AB = 10$，$BC = 12$，所以 $\frac{10}{12}=\frac{BP}{10}$，所以 $BP=\frac{25}{3}$。