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10.(湘西中考)如图，在$\square ABCD$中，$E$是$AD$边上的中点，连接$BE$，并延长$BE$交$CD$延长线于点$F$，则$\triangle EDF$与$\triangle BCF$的周长之比是 （ ）
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
答案：
A
11.(贵港中考)如图，在$\triangle ABC$中，$EF// BC$，$AB = 3AE$，若$S_{四边形BCFE}=16$，则$S_{\triangle ABC}=$ （ ）
A.$16$
B.$18$
C.$20$
D.$24$
A.$16$
B.$18$
C.$20$
D.$24$
答案：
B
12. 如图，$D$，$E$分别是$\triangle ABC$的边$AB$，$BC$上的点，且$DE// AC$，$AE$，$CD$相交于点$O$.若$S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA}=1:25$，则$S_{\triangle BDE}$与$S_{\triangle CDE}$的比为________.
答案：
$1:4$
13.(杭州中考)如图，在锐角三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上，$AG\perp BC$于点$G$，$AF\perp DE$于点$F$，$\angle EAF=\angle GAC$.
(1)求证：$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$；
(2)若$AD = 3$，$AB = 5$，求$\frac{AF}{AG}$的值.
(1)求证：$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$；
(2)若$AD = 3$，$AB = 5$，求$\frac{AF}{AG}$的值.
答案：
(1) 因为 $AG\perp BC$，$AF\perp DE$，所以 $\angle AFE=\angle AGC = 90^{\circ}$。因为 $\angle EAF=\angle GAC$，所以 $\angle AED=\angle ACB$。因为 $\angle EAD=\angle CAB$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$
(2) 由
(1)知 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，又因为 $AF\perp DE$，$AG\perp BC$，所以 $\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$
(1) 因为 $AG\perp BC$，$AF\perp DE$，所以 $\angle AFE=\angle AGC = 90^{\circ}$。因为 $\angle EAF=\angle GAC$，所以 $\angle AED=\angle ACB$。因为 $\angle EAD=\angle CAB$，所以 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$
(2) 由
(1)知 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，又因为 $AF\perp DE$，$AG\perp BC$，所以 $\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$
14.已知锐角$\triangle ABC$中，边$BC$长为$12$，高$AD$长为$8$.
(1)如图，矩形$EFGH$的边$GH$在$BC$边上，其余两个顶点$E$，$F$分别在$AB$，$AC$边上，$EF$交$AD$于点$K$.
①求$\frac{EF}{AK}$的值；
②设$EH = x$，矩形$EFGH$的面积为$S$，求$S$与$x$的函数关系式，并求出$S$的最大值；
(2)若$AB = AC$，正方形$PQMN$的两个顶点在$\triangle ABC$一边上，另两个顶点分别在$\triangle ABC$的另两边上，直接写出正方形$PQMN$的边长.
(1)如图，矩形$EFGH$的边$GH$在$BC$边上，其余两个顶点$E$，$F$分别在$AB$，$AC$边上，$EF$交$AD$于点$K$.
①求$\frac{EF}{AK}$的值；
②设$EH = x$，矩形$EFGH$的面积为$S$，求$S$与$x$的函数关系式，并求出$S$的最大值；
(2)若$AB = AC$，正方形$PQMN$的两个顶点在$\triangle ABC$一边上，另两个顶点分别在$\triangle ABC$的另两边上，直接写出正方形$PQMN$的边长.
答案：
(1) ① 因为 $EF// BC$，所以 $\triangle AEF\sim\triangle ABC$，所以 $\frac{AK}{AD}=\frac{EF}{BC}$，所以 $\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，即 $\frac{EF}{AK}$ 的值是 $\frac{3}{2}$ ② 因为 $EH = x$，所以 $KD = EH = x$，$AK = 8 - x$，因为 $\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，所以 $EF=\frac{3}{2}(8 - x)$，所以 $S = EH\cdot EF=\frac{3}{2}x(8 - x)=-\frac{3}{2}(x - 4)^2 + 24$，所以当 $x = 4$ 时，$S$ 的最大值是 24
(2) 设正方形的边长为 $a$，① 当正方形 $PQMN$ 的两个顶点在 $BC$ 边上时，$\frac{8 - a}{a}=\frac{8}{12}$，解得 $a=\frac{24}{5}$； ② 当正方形 $PQMN$ 的两个顶点在 $AB$ 或 $AC$ 边上时，因为 $AB = AC$，$AD\perp BC$，所以 $BD = CD = 6$，所以 $AB = AC=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，所以 $AB$ 或 $AC$ 边上的高 $=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{8\times12}{10}=\frac{48}{5}$，所以 $\frac{\frac{48}{5}-a}{a}=\frac{\frac{48}{5}}{10}$，解得 $a=\frac{240}{49}$。综上可得，正方形 $PQMN$ 的边长是 $\frac{24}{5}$ 或 $\frac{240}{49}$
(1) ① 因为 $EF// BC$，所以 $\triangle AEF\sim\triangle ABC$，所以 $\frac{AK}{AD}=\frac{EF}{BC}$，所以 $\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，即 $\frac{EF}{AK}$ 的值是 $\frac{3}{2}$ ② 因为 $EH = x$，所以 $KD = EH = x$，$AK = 8 - x$，因为 $\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，所以 $EF=\frac{3}{2}(8 - x)$，所以 $S = EH\cdot EF=\frac{3}{2}x(8 - x)=-\frac{3}{2}(x - 4)^2 + 24$，所以当 $x = 4$ 时，$S$ 的最大值是 24
(2) 设正方形的边长为 $a$，① 当正方形 $PQMN$ 的两个顶点在 $BC$ 边上时，$\frac{8 - a}{a}=\frac{8}{12}$，解得 $a=\frac{24}{5}$； ② 当正方形 $PQMN$ 的两个顶点在 $AB$ 或 $AC$ 边上时，因为 $AB = AC$，$AD\perp BC$，所以 $BD = CD = 6$，所以 $AB = AC=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，所以 $AB$ 或 $AC$ 边上的高 $=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{8\times12}{10}=\frac{48}{5}$，所以 $\frac{\frac{48}{5}-a}{a}=\frac{\frac{48}{5}}{10}$，解得 $a=\frac{240}{49}$。综上可得，正方形 $PQMN$ 的边长是 $\frac{24}{5}$ 或 $\frac{240}{49}$
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