《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

23. 先化简，再求值：$\frac{2m^{2} - m^{3}}{m^{2} + 4 - 4m} \div (\frac{9}{3 - m} - m - 3)$，其中$m$是已知两边长分别为2和3的三角形的第三边的长，且$m$是整数.

答案： 原式$=\frac{m^{2}(2 - m)}{(m - 2)^{2}}\div\frac{m^{2}}{3 - m}=\frac{m - 3}{m - 2}$。$\because m$是已知两边长分别为2和3的三角形的第三边的长，$\therefore3 - 2 ＜ m ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ m ＜ 5$。$\because m$是整数，$\therefore m = 2$或3或4。由分式有意义的条件，可知$m\neq0$、2、3，$\therefore m = 4$，此时原式$=\frac{4 - 3}{4 - 2}=\frac{1}{2}$

24. （2024·重庆A卷）为促进生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策. 根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴. 如果更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，那么该企业有甲、乙两类生产线各多少条?
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备多投入5万元. 已知用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，在（1）的条件下，该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备?

答案：
(1) 设该企业有$x$条甲类生产线，$y$条乙类生产线。根据题意，得$\begin{cases}x + y = 30 \\ 3x + 2y = 70\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 10 \\ y = 20\end{cases}$。$\therefore$该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线
(2) 设购买更新1条乙类生产线的设备需投入$m$万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入$(m + 5)$万元。根据题意，得$\frac{200}{m + 5}=\frac{180}{m}$，解得$m = 45$。经检验，$m = 45$是所列方程的解，且符合题意。$\therefore10(m + 5)+20m - 70 = 10×(45 + 5)+20×45 - 70 = 1330$。$\therefore$还需投入1330万元资金更新生产线的设备