《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.

答案： 由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，知 $x \neq 0$，$\therefore \frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，即 $x + \frac{1}{x} = 3$. 两边同时平方，得 $x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = 9$，即 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 7$. $\therefore \frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2}} = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}} = 8$. $\therefore \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{1}{8}$

9. 已知$a、b、c$满足$\frac{a}{2}=\frac{b - c}{3}=\frac{a + c}{5}$，求$\frac{a + c}{2a + b}$的值.

答案： 设 $\frac{a}{2} = \frac{b - c}{3} = \frac{a + c}{5} = k(k \neq 0)$，则 $a = 2k$ ①，$b - c = 3k$ ②，$a + c = 5k$ ③. ① + ② + ③，得 $2a + b = 10k$. $\therefore \frac{a + c}{2a + b} = \frac{5k}{10k} = \frac{1}{2}$

10. 已知$\frac{y + z}{x}=\frac{x + z}{y}=\frac{x + y}{z}$，其中$x + y + z\neq0$，求$\frac{x + y - z}{x + y + z}$的值.

答案： 由题意，得 $x$、$y$、$z$均不为0. 设 $\frac{y + z}{x} = \frac{x + z}{y} = \frac{x + y}{z} = k(k \neq 0)$，则 $\begin{cases}y + z = kx ①\\x + z = ky ②\\x + y = kz ③\end{cases}$. ① + ② + ③，得 $2x + 2y + 2z = k(x + y + z)$. $\because x + y + z \neq 0$，$\therefore k = 2$. $\therefore \frac{x + y}{z} = 2$，即 $x + y = 2z$. $\therefore$原式 = $\frac{2z - z}{2z + z} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3}$