《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

14. （2024·苏州）先化简，再求值：$(\frac{x + 1}{x - 2} + 1) \div \frac{2x^{2} - x}{x^{2} - 4}$，其中$x = -3$.

答案： 14.原式$=\frac{x + 2}{x}$. 当$x = -3$时，原式$=\frac{1}{3}$

15. （2023·内江改编）对于正数$x$，规定$f(x) = \frac{2x}{x + 1}$.
（1）求证：$f(x) + f(\frac{1}{x}) = 2$；
（2）计算：$f(\frac{1}{101}) + f(\frac{1}{100}) + f(\frac{1}{99}) + \cdots + f(\frac{1}{3}) + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + f(3) + \cdots + f(99) + f(100) + f(101)$.

答案： 15.
(1)$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{2x}{x + 1}+\frac{2\times\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{2x}{x + 1}+\frac{2}{1 + x}=\frac{2x + 2}{x + 1}=\frac{2(x + 1)}{x + 1}=2$　
(2)由
(1)，得$f(2)+f(\frac{1}{2}) = 2$，$f(3)+f(\frac{1}{3}) = 2$，$f(4)+f(\frac{1}{4}) = 2$，$\cdots$，$f(101)+f(\frac{1}{101}) = 2$.
∴原式$=2\times100 + f(1)=200+\frac{2\times1}{1 + 1}=201$