《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

7. 如图，有一张菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上的点C'处，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数为　　　　　　　(　　　)
A. 60°　　　　　　　　　B. 65°　　　　　　　　　C. 75°　　　　　　　　　D. 80°
　　　　　　　　　　　　　

答案： C

8. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使点B、C分别落在点B'、C'处，MN是折痕。若B'M=1.5，则CN的长为__________。

答案： 3.5

9. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，BE=4，EC=8，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，延长EF交DC于点G，连接AG、CF，有下列结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC//AG；④S△GFC=14.4。其中，正确的是__________（填序号）。
　　　　　　　　　　　　

答案： ①③④

10. （2023·扬州）如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在边CD上的点B'处。如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么FC的长为__________。

答案：
$\frac{3}{8}$ 解析：如图，连接$BB'$，过点$F$作$FH \perp AD$于点$H$。设$FC = x$，则$DH = x$，$BF = B'F = 1 - x$。根据$S_{四边形ABFE} = \frac{1}{2}(AE + BF) \cdot AB = \frac{3}{3 + 5} \times 1^{2}$，得$AE = x - \frac{1}{4}$，$\therefore DE = 1 - AE = \frac{5}{4} - x$。$\therefore EH = DE - DH = \frac{5}{4} - 2x$。易证$\triangle EHF \cong \triangle B'CB$，得$EH = B'C = \frac{5}{4} - 2x$。在$Rt\triangle B'FC$中，由勾股定理，得$B'F^{2} = B'C^{2} + CF^{2}$，即$(1 - x)^{2} = (\frac{5}{4} - 2x)^{2} + x^{2}$，化简整理，得$(8x - 3)^{2} = 0$，$\therefore 8x - 3 = 0$，则$x = \frac{3}{8}$。$\therefore FC = \frac{3}{8}$。

11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接CE、DF，将△CBE沿CE翻折得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H。
　　(1)求证：CE⊥DF；
　　(2)求$\frac{HG}{HC}$的值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
（1）如图，设$EC$交$DF$于点$K$。$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC = CD$，$\angle B = \angle DCF = 90^{\circ}$。$\because E$、$F$分别是$AB$、$BC$的中点，$\therefore BE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}BC$。$\therefore BE = CF$。$\therefore \triangle BCE \cong \triangle CDF$。$\therefore \angle BCE = \angle CDF$。又$\because \angle BCE + \angle ECD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CDF + \angle ECD = 90^{\circ}$。$\therefore$在$\triangle CKD$中，$\angle CKD = 90^{\circ}$。$\therefore CE \perp DF$ （2）设正方形$ABCD$的边长为$2a$，$HC = x(x ＞ 2a ＞ 0)$。$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB // CD$，$BC = AB = 2a$，$\angle B = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BEC = \angle HCE$。$\because \triangle CBE$沿$CE$翻折得到$\triangle CGE$，$E$为$AB$的中点，$\therefore CG = BC = 2a$，$EG = BE = \frac{1}{2}AB = a$，$\angle BEC = \angle CEG$，$\angle EGC = \angle B = 90^{\circ}$。$\therefore \angle HGC = 180^{\circ} - \angle EGC = 90^{\circ}$，$\angle HCE = \angle CEG$。$\therefore EH = HC = x$。$\therefore HG = EH - EG = x - a$。在$Rt\triangle CGH$中，由勾股定理，得$CG^{2} + HG^{2} = HC^{2}$，即$(2a)^{2} + (x - a)^{2} = x^{2}$，解得$x = \frac{5}{2}a$。$\therefore HG = \frac{5}{2}a - a = \frac{3}{2}a$。$\therefore \frac{HG}{HC} = \frac{\frac{3}{2}a}{\frac{5}{2}a} = \frac{3}{5}$