《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

7. 在矩形$ABCD$中，$AD = 5$，$AB = 4$，点$E$、$F$在直线$AD$上，且四边形$BCFE$为菱形. 若线段$EF$的中点为$M$，则线段$AM$的长为_______.

答案： $\frac{11}{2}$或 $\frac{1}{2}$

8. （2024·宿迁）如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，且$AD = DC=\frac{1}{2}BC$，$E$是$BC$的中点. 甲认为若连接$AE$，则四边形$ADCE$是菱形；乙认为若连接$AC$，则$\triangle ABC$是直角三角形. 请选择一名同学的想法给予证明.
　　

答案：
选择不唯一，如选择甲 如图，连接 AE.
∵ E 是 BC 的中点，
∴ CE = BE = $\frac{1}{2}BC$.
∵ AD = $\frac{1}{2}BC$，
∴ AD = CE.
∵ AD//BC，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
∵ AD = DC，
∴ 四边形 ADCE 是菱形

9. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$、$F$分别是$AB$、$BC$的中点，$CE$、$DF$交于点$G$，连接$AG$. 有下列结论：①$CE = DF$；②$CE\perp DF$；③$\angle AGE=\angle CDF$. 其中，正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

答案： D

10. 如图，菱形$ABCD$的面积为$120\ cm^{2}$，正方形$AECF$的面积为$50\ cm^{2}$，则菱形的边长为________$cm$.

答案： 13

11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$OABC$是边长为$4$的正方形，$P$为边$OA$上任意一点（不与点$O$、$A$重合），连接$CP$，过点$P$作$PM\perp CP$交$AB$于点$D$，且$PM = CP$，过点$M$作$MN// OA$，交$BO$于点$N$，连接$ND$、$BM$，设$OP = t$.
（1）求点$M$的坐标（用含$t$的代数式表示）；
（2）试判断线段$MN$的长度是否随点$P$的位置的变化而改变，并说明理由.
　　　　

答案：

(1) 如图，过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，则 ∠PEM = 90°.
∴ ∠1 + ∠2 = 90°.
∵ PM⊥CP，
∴ ∠CPM = 90°.
∴ ∠1 + ∠3 = 90°.
∴ ∠2 = ∠3.
∵ 四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，
∴ OC = 4，∠COP = 90°.
∴ ∠PEM = ∠COP. 又
∵ PM = CP，
∴ △MPE≌△PCO.
∴ EM = OP = t，EP = OC = 4.
∴ OE = t + 4.
∴ 点 M 的坐标为(t + 4，t)
(2) 线段 MN 的长度不发生改变 理由：如图，连接 AM，设 MN 交 AB 于点 F.
∵ 四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，
∴ ∠BAO = 90°，OA = OC = AB = 4，即 AB⊥x 轴.
∴ ∠BOA = 45°.
∵ ME⊥x 轴，
∴ ME//AB.
∵ MN//OA，
∴ 四边形 AEMF 为平行四边形. 又
∵ ∠MEA = 90°，
∴ 四边形 AEMF 是矩形. 由
(1)，得 OP = EM，OC = EP，
∴ OA = EP.
∴ OA - PA = EP - PA，即 OP = AE.
∴ EM = AE.
∴ 矩形 AEMF 是正方形，∠MAE = 45°.
∴ ∠MAE = ∠BOA.
∴ AM//OB. 又
∵ MN//OA，
∴ 四边形 OAMN 是平行四边形.
∴ MN = OA = 4，即线段 MN 的长度不发生改变.