《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

7. （2024·重庆A卷改编）如图，正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将AE绕点E按逆时针方向旋转90°，得到FE，连接CF并延长，与AB的延长线交于点G，则∠G的度数为（ ）

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

答案： B

8. （2023·重庆B卷改编）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE = BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF. 若AB = 1，则OF的长为_______.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

9. 如图，过直线AP上一点A作正方形ABCD，∠PAD = 30°，若以点B为圆心，AB的长为半径作弧，与AP交于点A、M，分别以点A、M为圆心，AM的长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为_________.

答案： 15°或 45°

10. 如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE = BF = CG = DH. 求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形.

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ $AB = BC = CD = AD$，$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$.
∵ $AE = BF = CG = DH$，
∴ $BE = CF = DG = AH$.
∴ $\triangle AHE \cong \triangle BEF$
(2)
∵ $AE = BF = CG = DH$，$AH = BE = CF = DG$，$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$，
∴ $\triangle AEH \cong \triangle BFE \cong \triangle CGF \cong \triangle DHG$.
∴ $EH = FE = GF = HG$，$\angle EHA = \angle HGD$.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
∵ $\angle D = 90^{\circ}$，
∴ $\angle HGD + \angle GHD = 90^{\circ}$.
∴ $\angle EHA + \angle GHD = 90^{\circ}$.
∴ $\angle EHG = 90^{\circ}$.
∴ 四边形 EFGH 是正方形

11. 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
（1）求证：BQ = AP；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段的长度差等于PQ的长.

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ $BA = DA$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，即 $\angle BAQ + \angle DAP = 90^{\circ}$.
∵ $DP \perp AQ$，
∴ $\angle ADP + \angle DAP = 90^{\circ}$.
∴ $\angle BAQ = \angle ADP$.
∵ $AQ \perp BE$，$DP \perp AQ$，
∴ $\angle AQB = \angle DPA = 90^{\circ}$.
∴ $\triangle AQB \cong \triangle DPA$.
∴ $BQ = AP$
(2) $AQ - AP = PQ$，$AQ - BQ = PQ$，$DP - AP = PQ$，$DP - BQ = PQ$