《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

9. 如图，在□ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE//DF，交AD的延长线于点E. 若∠A = 40°，则∠ABE的度数为_______.
　　　　　

答案： $70^{\circ}$

10. 如图，□ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG. 若AD = 3，AB = CF = 2，则CG的长为_______.
　　　　　

答案： $\frac{3}{2}$ 解析：延长$CG$交$BE$于点$H$. 先证明$\triangle DCG\cong\triangle EHG$，得$CD = HE = 2$，$CG = HG$. 再证明$\triangle BCH$为等边三角形，得$CH = BC = AD = 3$，从而$CG=\frac{1}{2}CH=\frac{3}{2}$.

11.（2023·泰州）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，射线CP从射线CA开始绕点C按逆时针方向旋转α角(0° ＜ α ＜ 75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E. 若△A'DE是等腰三角形，则α的度数为____________.
　　　　　

答案： $22.5^{\circ}$或$67.5^{\circ}$或$45^{\circ}$ 解析：分三种情况分别进行计算：①当$A'D = A'E$时；②当$DA' = DE$时；③当$ED = EA'$时.

三、解答题
12. 如图，在△AFC中，∠FAC = 45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB = FC，过点A作AD⊥AF，且AD = BC，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
　　　

答案： $\because FE\perp AC$，$\therefore\angle FEA=\angle FEC = 90^{\circ}$. $\because\angle FAC = 45^{\circ}$，$\therefore\angle FAE=\angle AFE = 45^{\circ}$. $\therefore AE = FE$. 在$Rt\triangle AEB$和$Rt\triangle FEC$中，$\begin{cases}AB = FC,\\AE = FE,\end{cases}$ $\therefore Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle FEC$. $\therefore BE = CE$. $\therefore\angle CBE=\angle BCE = 45^{\circ}$. $\because AD\perp AF$，$\therefore\angle FAD = 90^{\circ}$. $\therefore\angle CAD=\angle FAD-\angle FAC = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$. $\therefore\angle BCE=\angle CAD$. $\therefore AD// BC$. 又$\because AD = BC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形

13. 如图，在△ABC中，点E在边BC上，AE = AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF = ∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：BC = EF；
（2）若∠ABC = 65°，∠ACB = 28°，求∠FGC的度数.
　　　

答案：
(1) $\because\angle CAF=\angle BAE$，$\therefore\angle BAE+\angle EAC=\angle CAF+\angle EAC$，即$\angle BAC=\angle EAF$. $\because$将线段$AC$绕点$A$旋转到$AF$的位置，$\therefore AC = AF$. 在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中，$\begin{cases}AB = AE,\\\angle BAC=\angle EAF,\\AC = AF,\end{cases}$ $\therefore\triangle ABC\cong\triangle AEF$. $\therefore BC = EF$
(2) $\because AB = AE$，$\therefore\angle AEB=\angle ABC = 65^{\circ}$. $\therefore\angle BAE = 180^{\circ}-65^{\circ}\times2 = 50^{\circ}$. $\therefore\angle FAG=\angle BAE = 50^{\circ}$. $\because\triangle ABC\cong\triangle AEF$，$\therefore\angle F=\angle C = 28^{\circ}$. $\therefore\angle FGC=\angle FAG+\angle F = 50^{\circ}+28^{\circ}=78^{\circ}$