《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

17. 如图，在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)的图像与直线y = x - 2交于点A(3，m).
(1) k的值为_______，m的值为_______.
(2) 已知点P(n，n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y = x - 2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数$y=\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)的图像于点N.
① 当n = 1时，线段PM与PN之间的数量关系为__________；
② 若PN≥PM，结合函数的图像，可得n的取值范围是____________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
（1）3 1 （2）① $PM = PN$ ② $0＜n\leq1$或$n\geq3$ 解析：$\because$ 点$P$的坐标为$(n,n)(n＞0)$，
∴ 点$P$在正比例函数$y = x(x＞0)$的图像上（如图）. 由题意，可得$M(n + 2,n)$，
∴ $PM = 2$. $\because PN\geq PM$，即$PN\geq2$，
∴ 结合图像，得$0＜n\leq1$或$n\geq3$.

18. (2024·湖北)如图，一次函数y = x + m的图像经过点A(-3，0)，交函数$y=\frac{k}{x}$(x＞0)的图像于点B(n，4).
(1) 求m、n、k的值；
(2) 已知点C在函数$y=\frac{k}{x}$(x＞0)的图像上，若$S_{\triangle AOC}＜S_{\triangle AOB}$，直接写出点C的横坐标a的取值范围.
　　　　　　

答案： （1）将$A(-3,0)$代入$y = x + m$，得$-3 + m = 0$，解得$m = 3$. 将$B(n,4)$代入$y = x + m$，得$n + m = 4$. $\because m = 3$，
∴ $n = 1$.
∴ $B(1,4)$. 将$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$k = 4$.
∴ $m = 3$，$n = 1$，$k = 4$ （2）$a＞1$ 解析：$\because S_{\triangle AOC}＜S_{\triangle AOB}$，
∴ 点$B$到$x$轴的距离大于点$C$到$x$轴的距离.
∴ 点$C$位于点$B$的右侧.
∴ $a＞1$.

19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD = 2DB，AM = 2MO，一次函数$y=kx + b$(k≠0)的图像经过点D、M，反比例函数$y=\frac{m}{x}$(m≠0)在第二象限内的图像经过点D，与BC的交点为N.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 连接MN，点P在直线DM上，若△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标.
　　　　

答案： （1）$\because$ 正方形$OABC$的顶点$C$的坐标为$(0,3)$，
∴ $OA = AB = BC = OC = 3$，$\angle OAB=\angle B=\angle BCO = 90^{\circ}$. $\because AD = 2DB$，
∴ $AD=\frac{2}{3}AB = 2$.
∴ 点$D$的坐标为$(-3,2)$. 把$(-3,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m = -6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$. $\because AM = 2MO$，
∴ $MO=\frac{1}{3}OA = 1$.
∴ 点$M$的坐标为$(-1,0)$. 把$(-1,0)$、$(-3,2)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b = 0\\-3k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = -1\end{cases}$，
∴ 一次函数的表达式为$y=-x - 1$ （2）把$y = 3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$x = -2$，
∴ 点$N$的坐标为$(-2,3)$，即$NC = 2$. 设点$P$的坐标为$(x_{P},y_{P})$. $\because\triangle OPM$的面积与四边形$OMNC$的面积相等，
∴ $\frac{1}{2}MO\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}(MO + NC)\cdot OC$，即$\frac{1}{2}\times1\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}\times(1 + 2)\times3$.
∴ $|y_{P}| = 9$，解得$y_{P}=\pm9$. 当$y_{P}=9$时，$x_{P}=-10$；当$y_{P}=-9$时，$x_{P}=8$.
∴ 点$P$的坐标为$(-10,9)$或$(8,-9)$