《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

6. （2023·滨州）如图，直线$y = kx + b(k,b$为常数）与双曲线$y=\frac{m}{x}(m$为常数）相交于$A(2,a)$、$B(-1,2)$两点.
　(1)求直线$y = kx + b$对应的函数表达式；
　(2)在双曲线$y=\frac{m}{x}$上任取两点$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$，若$x_1＜x_2$，试确定$y_1$和$y_2$的大小关系；
　(3)关于$x$的不等式$kx + b＞\frac{m}{x}$的解集为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵双曲线$y = \frac{m}{x}$过点$B(-1, 2)$，
∴$2 = \frac{m}{-1}$，解得$m = -2$。
∴双曲线对应的函数表达式为$y = -\frac{2}{x}$。又
∵点$A(2, a)$在双曲线上，
∴$a = -1$。
∴$A(2, -1)$。将$A$、$B$两点的坐标代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}2k + b = -1 \\ -k + b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 1 \end{cases}$。
∴直线$y = kx + b$对应的函数表达式为$y = -x + 1$。
(2)分两种情况讨论：①若点$M$、$N$在双曲线的同一支上，根据双曲线$y = -\frac{2}{x}$可知，在每一个象限内，函数值$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x_1 ＜ x_2$时，$y_1 ＜ y_2$。②若点$M$、$N$不在双曲线的同一支上，
∵$x_1 ＜ x_2$，
∴$x_1 ＜ 0 ＜ x_2$。
∴根据题图，可得$y_1 ＞ 0 ＞ y_2$，即$y_1 ＞ y_2$。
(3)$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 2$。

7. 如图，一次函数$y = kx + b$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像交于点$A(3,4)$、$B(n,-1)$.
　(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
　(2)在$x$轴上存在一点$C$，使$\triangle AOC$为等腰三角形，求此时点$C$的坐标；
　(3)根据图像，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的$x$的取值范围.
　　

答案：
(1)把$(3, 4)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$m = 12$，
∴反比例函数的表达式为$y = \frac{12}{x}$。把$(n, -1)$代入$y = \frac{12}{x}$，得$n = -12$，
∴$B(-12, -1)$。把$(3, 4)$、$(-12, -1)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}3k + b = 4 \\ -12k + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{3} \\ b = 3 \end{cases}$。
∴一次函数的表达式为$y = \frac{1}{3}x + 3$。
(2)过点$A$作$AD\perp x$轴，垂足为$D$。由题意，得$OD = 3$，$AD = 4$，
∴$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
∵$\triangle AOC$为等腰三角形，
∴分三种情况讨论。①当$OA = OC$时，$OC = 5$，此时点$C$的坐标为$(5, 0)$或$(-5, 0)$。②当$AO = AC$时，
∵$AD\perp OC$，
∴$OD = CD = 3$。
∴$OC = 6$。
∴此时点$C$的坐标为$(6, 0)$。③当$CA = CO$时，设$OC = t$，则$AC = t$，$CD = |t - 3|$。在$Rt\triangle ACD$中，$4^2 + |t - 3|^2 = t^2$，解得$t = \frac{25}{6}$，此时点$C$的坐标为$(\frac{25}{6}, 0)$。综上所述，点$C$的坐标为$(5, 0)$或$(-5, 0)$或$(6, 0)$或$(\frac{25}{6}, 0)$。
(3)$-12 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 3$。